Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và điểm x₀ ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀ ta làm như sau:

+ Tìm giới hạn của hàm số y = f (x) khi x → x₀ và tính f (x₀)

+ Nếu tồn tại thì ta so sánh

với f (x₀).

Nếu = f (x₀) thì hàm số liên tục tại x₀

Lưu ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại x₀ thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

2.

3. Hàm số liên tục tại x = x₀ ⇔ = k

4. Hàm số: liên tục tại điểm x = x₀ khi và chỉ khi

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3

Bài giải:

1. Hàm số xác định trên R

Ta có f (3) = 10/3 và

Vậy hàm số không liên tục tại x = 3

2. Ta có f (3) = 4 và

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số

1. f (x) = tan2x + cosx

Bài giải:

1. TXĐ:

Vậy hàm số liên tục trên D

2. Điều kiện xác định:

Vậy hàm số liên tục trên (1; 2) ∪ (2, +∞)

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Bài giải:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 4: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Bài giải:

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1

Bài 5: Chọn giá trị f (0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0

Bài giải:

Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Bài giải:

Ta có:

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Bài giải:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số

Kết luận nào sau đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x =-1

B. Hàm số liên tục tại x = 1

C. Hàm số liên tục tại x = -3

D. Hàm số liên tục tại x = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

hàm số đã cho không xác định tại x = - 1 nên không liên tục tại điểm đó. Tại các điểm còn lại hàm số đều liên tục. Đáp án A

Bài 2: Cho hàm số:

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = -2

B. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 0

C. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 0,5

D. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Hàm số đã cho không xác định tại x = 0, x = -2, x = 2 nên không liên tục tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại x = 0,5 vì nó thuộc tập xác định của hàm phân thức f (x). Đáp án là C

Bài 3: Cho: với x ≠ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f (0) bằng bao nhiêu để hàm số f (x) liên tục tại x = 0?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Vậy hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi

Bài 4: Cho hàm số: . Hàm số f (x) liên tục tại:

A. Mọi điểm thuộc R

B. Mọi điểm trừ x = 0

C. Mọi điểm trừ x = 1

D. Mọi điểm trừ x = 0 và x = 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

với x < 1, x≠ 0 thì

liên tục trên khoảng đó. Do đó f (x) liên tục tại mọi điểm. Đáp án A

Bài 5: Cho: . Phải bổ sung thêm giá trị f (0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f (x) liên tục trên R?

A. 0 B. 1 C. √ 2 D. 2

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

Bài 6: Cho: . Phải bổ sung thêm giá trị f (0)bằng bao nhiêu thì hàm f (x) liên tục trên R?

A. 5/7 B. 1/7 C. 0 D. -5/7

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Bài 7: Cho hàm số:

Kết luận nào sau đây là sai:

A. Hàm số liên tục tại x = -2

B. Hàm số liên tục tại x = 2

C. Hàm số liên tục tại x = -4

D. Hàm số liên tục tại x = 4

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 8: Cho

Phải bổ sung thêm giá trị f (0) bằng bao nhiêu thì hàm số f (x) liên tục tại x = 0?

A. 0 B. 1/2 C. 1/√ 2 D. 1/ (2√ 2)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 9: Cho hàm số

A. 11 B. 4 C. -1 D. -13

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Bài 10: Cho hàm số

. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = -3

B. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 0

C. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 2

D. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x = 3

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 11: Cho hàm số

. Kết luận nào sau đây là đúng?

Kết luận nào sau đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x = -2

B. Hàm số liên tục tại x = 2

C. Hàm số liên tục tại x = -1

D. Hàm số liên tục tại x = 1

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Bài 12: Cho

. Kết luận nào sau đây là đúng?

Phải bổ sung giá trị f (0) bằng bao nhiêu để hàm số đã cho liên tục trên R?

A. -4/7 B. 0 C. 1/7 D. 4/7

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Bài 13: Cho hàm số

. Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f (x) liên tục tại x = 2

(II) f (x) gián đoạn tại x = 2

(III) f (x) liên tục trên đoạn [-2; 2]

A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) C. Chỉ (II) D. Chỉ (II) và (III)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

TXĐ: D = (-∞, -2] ∪ [2, +∞). Vậy (III) và (II) sai. Đáp án B

Bài 14: Cho hàm số

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f (x) gián đoạn tại x = 1

(II) f (x) liên tục tại x = 1

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Chỉ (I) và (III) D. Chỉ (II) và (III)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Hàm số không xác định tại x = 1 nên gián đoạn tại điểm đó. Đáp án C

Bài 15: Cho hàm số

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(II) f (x) liên tục tại x = –2

(III) f (x) gián đoạn tại x = –2

A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) và (II) C. Chỉ (I) D. Chỉ (III)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Vậy hàm số liên tục tại x = -2. Đáp án B

Bài tiếp: Dạng 2: Tìm m để hàm số liên tục - Chuyên đề Toán 11