Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
♦ Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Cho k biến cố A1, A2, A3….. , Ak đôi một xung khắc. Khi đó:
P (A1 ∪ A2 ∪ A3….. ∪ Ak)=P (A1)+P (A2)+... +P (Ak)
♦ P (
) = 1 - P (A)
♦ Giả sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử.
Lúc đó: P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
2. Quy tắc nhân xác suất
♦ Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
♦ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P (A. B) = P (A). P (B)
Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.
♦ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) với A và B là hai biến cố xung khắc
♦ P (
) = 1 - P (A)
Bài toán 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân
Phương pháp:
Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:
♦ Chứng tỏ A và B độc lập
♦ Áp dụng công thức: P (A. B) = P (A). P (B)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn
Bài giải:
Ta sử dụng quy tắc cộng để giải bài toán
Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i = 1,2,3,4,5,6)
Ta có P (A1) = P (A2) = P (A3) = P (A5) = P (A6) = 1/3 P (A4) = x
⇒ 5x + 3x = 1
⇒ x = 1/8
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn => A = A2 ∪ A4 ∪ A6
Vì các biến cố xung khắc nên:
P (A) = P (A2) + P (A4) + P (A6) = 1/8 + 3/8 + 1/8 = 5/8.
Bài 2: Hai cầu thủ sút phạt đền. Mỗi người đá 1 lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7. Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn.
Bài giải:
Ta sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán
Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn; B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn.
X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn.
Bài 3: Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn An làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Hỏi Anh có khả năng được bao nhiêu điểm?
Bài giải:
Ta sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán
+) An làm đúng 12 câu nên An có số điểm là: 12.0,5 = 6
+ Xác suất đánh hú họa đúng của mỗi câu là 1/4, => Xác suất để An đánh đúng 8 câu còn lại là: (1/4)8
Vì 8 câu đúng sẽ có số điểm 8.0,5 = 4
Nên số điểm có thể của An là: 6+1/48. 4.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng, 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố: A: "2 viên bi cùng màu"
Bài giải:
Gọi các biến cố: D: "lấy được 2 viên đỏ"; X: "lấy được 2 viên xanh";
V: "lấy được 2 viên vàng"
Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và C = D ∪ X ∪ V
Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: "lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7"
Bài giải:
Ta có: n (Ω) = 25
Gọi A: "lấy được vé không có chữ số 2"
B: "lấy được vé số không có chữ số 7"
=> n (A) = n (B) = 95
⇒ P (A) = P (B) = 0.95
Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 7 là: 85
=> n (A ∩ B) = 85
⇒ P (A ∩ B) = 0.85
Do X = A ∪ B ⇒ P (X) = P (A) + P (B) - P (A ∪ B) = 0.8533.
Bài 3: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc
Hộp thứ nhất: Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 2 bút màu đen.
Hộp thứ hai: Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen.
Hộp thứ ba: Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen.
Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút.
Tính xác suất của biến cố A: "Lấy được hai bút màu xanh".
Tính xác suất của xác suất B: "Lấy được hai bút không có màu đen.
Bài giải:
Gọi Xi là biến cố rút được hộp thứ i, i = 1,2,3 => P (Xi) = 1/3
Gọi Ai là biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i, i = 1,2,3
Gọi Bi là biến cố rút hai bút ở hộp thứ i không có màu đen.
Bài 4: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Hãy tính xác suất để:
1. Cả hai người cùng bắn trúng;
2. Cả hai người cùng không bắn trúng;
3. Có ít nhất một người bắn trúng.
Bài giải:
1. Gọi A1 là biến cố " Người thứ nhất bắn trúng bia"; A2 là biến cố " Người thứ hai bắn trúng bia"
Gọi A là biến cố "cả hai người bắng trúng" => A = A1 ∩ A2
Vì A1, A2 là độc lập nên P (A) = P (A1)P (A2) = 0.8.0.7 = 0.56
2. Gọi B là biến cố "Cả hai người bắn không trúng bia".
3. Gọi C là biến cố "Có ít nhất một người bắn trúng bia", khi đó biến cố đối của B là biến cố C.
Do đó: P (C) = 1 – P (D) = 1 – 0.06 = 0.94.
Bài 5: Có hai xạ thủ I và xạ thủ II. Xác suất bắn trúng của I là 0,9; xác suất của II là 0,8. Lấy ngẫu nhiên một trong hai xạ thủ, bắn một viên đạn. Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích.
Bài giải:
Gọi B1 là biến cố "Xạ thủ được chọn lọai, i = 1,2
A là biến cố viên đạn trúng đích.
Ta có: P (B1) = 0.2, P (B2) = 0.8 và P (A/B1) = 0.9. P (A/B2) = 0.8
Nên P (A) = P (B1). P (A/B1) + P (B2). P (A/B2) = 0.2.0.9 + 0.8.0.8 = 0.82