Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a không vuông góc với (α). Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α)
- Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
+ Chọn một điểm A ∈ a
+ Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp (a; b) chính là mặt phẳng (β).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là hình gì?
A. Tam giác cân.
B. Hình vuông
C. Tam giác đều.
D. Tam giác vuông
Bài giải:
Gọi I là trung điểm của BC
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AI ⊥ BC
Ta có:
Trong (ACD), dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H
Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) là tam giác AHI.
Vì AI ⊥ (BCD) ⇒ AI ⊥ HI nên tam giác AHI là tam giác vuông tại I.
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), (α) cắt chóp S. ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. hình bình hành
B. hình thang vuông
C. hình thang không vuông
D. hình chữ nhật
Bài giải:
Dựng AH ⊥ CD
Ta có
Từ đó thiết diện là hình thang ABKH
Mặt khác AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AH
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = a; AD = 2a; SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD). Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S. ABCD bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Trong (ABCD) dựng đường thẳng d qua O và d // AB.
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với BC và AD.
Ta có: AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)
Lại có: MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD).
⇒ (SMN) ⊥ (SAD) (1)
Mà SO ⊂ (SMN) nên (P) chính là (SMN).
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) là tam giác SMN.
Do MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ SN; tam giác SMN vuông tại N.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là?
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Gọi H là trung điểm BC, ta có
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI ⊥ CD thì ta có CD ⊥ (AHI)
Khi đó mặt phẳng (α) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = a√ 2 ⇒ AH = a√ 2/2
Trong tam giác BCD, kẻ đường cao BK thì BK = a√ 2/√ 3 và HI = a/√ 6
Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích S = a2√ 3/12
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng AbC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c; AC = b, cạnh bên AA’ = h. Mặt phẳng (P) đi qua A’ và vuông góc với B’C. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) có hình:
B. h2 và h3
C. h2
D. h1
Bài giải:
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A’ và vuông góc với BC.
Từ A’ ta dựng A'K' ⊥ B'C', Vì (ABC) ⊥ (BCC'B') nên A'K' ⊥ B'C' ⇒ A'K' ⊥ (BCC'B') ⇒ A'K' ⊥ BC' (1)
Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng K'x ⊥ B'C và cắt BB’ tại 1 điểm N (2) Từ (1) và (2) ta có:
Đáp án đúng là: A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Thiết diện là hình gì?
A. Hình vuông
B. Lục giác đều
C. Ngũ giác đều
D. Tam giác đều
Ta có AC là hình chiếu của AC’ lên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên AC' ⊥ BD (1)
Ta có:
Mặt phẳng trung trực AC’ là mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của AC’ và (α) ⊥ AC' (4)
Từ (3) và (4) =>
Do đó: Qua I dựng MQ // BD
Dựng: MN // A'D
NP // B'D' // BD
QK // B'C // A'D
KH // BD
Mà MN = NP = PQ = QK = KM = a√ 2/2
=> Thiết diện là lục giác đều.