Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
1. - Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử M (x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f’ (x0)= k (*).
- Giải (*) tìm x0. Suy ra y0 = f (x0). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k (x - x0) + y0
2. Cho đường thẳng d: y = kdx + b
+) Nếu ∆ // d thì k∆ = kd
+) Nếu ∆ vuông góc với d thì: k∆. kd = -1 ⇔ k∆ = (- 1)/kd
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -x4 - x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = 1/6x - 1.
A. y = 6x + 1
B. y = - 6x + 6
C. y = -6x + 10
D. y = 6x + 12
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định D = R.
Đạo hàm của hàm số: y’ = - 4x3 – 2x
Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d: y = 1/6x - 1.
⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc: k = -6.
Cách 1: Gọi M (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (C) của hàm số.
Khi đó, ta có phương trình: y' (x0) = -6 ⇔ -4x03 - 2x0 = -6
⇔ (x0 - 1)(2x02 + 2x0 + 3) = 0 (*).
Vì 2x02 + 2x0 + 3 > 0, ∀x0 ∈ R nên phương trình (*) tương đường x0 = 1
⇒ y0 = y (1) = 4 nên M (1; 4)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6 (x - 1) + 4 = -6x + 10.
Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y = -6x + m (**)
Do ∆ tiếp xúc (C) tại điểm M (x0; y0) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0:
Thay vào (**) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - 6x + 10
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = 1/3 x3 - x + 2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y = -1/3 x + 2/3.
A. ( 1; -2) và (-2; 0)
B. ( - 2; 0) và (2; 4/3)
C. ( -2; 5) và (1; 0)
D. Đáp án khác
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định D = R.
Ta có đạo hàm: y' = x2 - 1
Gọi M (x0;y0) ∈ (C)
⇔ y0 = 1/3 x03 - x0 + 2/3,
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y' (x0) = x02 - 1
Đường thẳng d có hệ số góc k2 = -1/3
Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:
A. -3
B. 3
C. 4
D. 0
Bài giải:
Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3 (x - 1)2 - 3 ≥ -3với mọi x.
Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng - 3.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 9x + 5 có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
A: y = -2x + 4
B: x + y + 12 = 0
C: 12x + y - 4 = 0
D: x - 12y + 4 = 0
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số y là: y’= 3x2+ 6x- 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f' (x0) = 3. x02+6x0-9
Ta có: 3. x02+6x0-9=3 (x02+2x0+1)-12=3 (x0+1)2-12 ≥ -12 ∀x0
Vậy min f' (x0)=-12 tại x0= -1 ⇒ y0= 16
=> PT tiếp tuyến cần tìm là: y= -12 (x+1)+16 hay y=-12x+4
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 5.Cho hàm số y= x3+ 3mx2+ (m+ 1)x+ 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x=-1 đi qua điểm A (1; 2).
A: 1
B: -1
C: 3
D: 5/8
Bài giải:
Ta có đạo hàm: y’= 3x2+ 6mx + m+ 1
Với x0 = - 1 ⇒ y0= 2m- 1 và y’ (-1) = - 5m+ 4.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (-1; 2m-1): y= (-5m+4)(x+1)+2m-1 (d).
Ta có điểm A (1; 2) thuộc đường thẳng d nên:
2= (- 5m+ 4). (1+1) +2m- 1 ⇔ 2= - 10m+ 8+ 2m- 1
⇔ - 8m+ 5= 0
⇔ m = 5/8.
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = -x3- 3x2+ 9x – 5 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C) hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
A: y=8x-3 B: y=6x-4 C: y=10x-2 D: y=12x-4
Bài giải:
Đạo hàm hàm số y là: y’= - 3x2- 6x+ 9
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có y' (x0)= -3x02-6x0+9
=> Max y' (x0)=12 tại x0= - 1.
Với x0= -1 ⇒ y0= - 16, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y=12x-4
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 7: Cho hàm số y = (2x-1)/ (x-1) có đồ thị (C). Gọi I (1; 2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM?
A. M (3; 2) B. (0; 1) C. (2; 3) D. Cả B và C đúng
Bài giải:
Ví dụ 8:Cho hàm số y= 2x/x+1. Có mấy điểm M thuộc C, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A; B và tam giác 0AB có diện tích bằng 1/4
A: 0 B: 1 C: 2 D: 3
Bài giải:
Ví dụ 9. Cho đồ thị (C): y= (( 3m+1)x-m)/ (x+m).Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox song song với đường thẳng d: y=-x-5.
A. (- 1)/6; (- 1)/2 B: - 1/4 C: -1/2; 1 D: Tất cả sai
Bài giải:
Ví dụ 10: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=1/3x3 -m/2x2+1/3 (m là tham số).
Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0
A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4
Bài giải:
Ví dụ 11. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y= x3- 3x2+ 2, biết d cắt các trục Ox; Oy lần lượt tại A; B thỏa mãn OB= 9OA.
A. y= 9x+ 5 và y= 9x- 25 B. y= 9x+ 7 và y= 9x- 25
C. y= - 9x+ 1 và y= 9x + 7 D. Đáp án khác
Bài giải:
Gọi M (x0; y0) là toạ độ tiếp điểm
Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 3x2- 6x
Theo bài toán, đường thẳng d ≡AB.
Ví dụ 12. Cho hàm số y=x3-2x2+8x+5 có đồ thị là (C). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm M (1; 17)
D. Cả A, B, C đều sai
Bài giải:
Ta có y' (x)=3x2-4x+8
Xét phương án A:
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau.
Gọi x1; x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.
Gọi k1; k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ x1; x2.
Khi đó k1,k2=-1⇒ y' (x1). y' (x2)=-1
⇒ (3x12-4x1+8)(3x22-4x2+8)=-1
Tam thức f (t)=3t2-4t+8 có nên f (t)> 0∀t∈R
⇒ (1) không thể xảy ra.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
Chọn A.
Ví dụ 13.Cho hàm số: y= 2x+2/x-1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1.
A. y= -x- 2; y= -x+ 7. B. y= -x- 5; y= -x+ 6.
C. y= -x- 1; y= -x+ 4. D. y= -x- 1; y= -x+ 7.
Bài giải:
Ví dụ 14. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/ (x-1) nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ):9x-2y+1=0
Bài giải:
Ví dụ 15: Cho hàm số y=x4/4+x2/2+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d: y= 2x- 2
Bài giải:
Đạo hàm y’= x3+ x
Đường thẳng d có hệ số góc k= 2.
Do tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d: y= 2x-2 nên hệ số góc của đường thẳng ∆ là k∆= 2
⇒ x3+ x= 2 ⇒ x= 1
Tại x= 1 ta có y= 11/4; y' (1)=2
Phương trình tiếp tuyến ∆: y=2 (x-1)+11/4=2x+3/4
Chọn A
Ví dụ 16: .Cho hàm số y=2x4-4x2-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x- 48y + 1= 0..
Bài giải:
Ta có đạo hàm: y'=8x3-8x.
Gọi M (x0.y0)Tiếp tuyến tại M có phương trình:.
y= (8x03-8x0) (x-x0)+2x04-4x02-1..
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-48y+1=0 hay y= 1/48 x+ 1/48.
Nên ta có: y' (x0). 1/48=-1⇔y' (x0)=-48.
8x03-8x0+48=0 ⇒ x0=-2 ⇒ y0=15..
Phương trình Δ: y=-48 (x+2)+15=-48x-81.
Chọn A.
Ví dụ 17: Tìm m để đồ thị hàm số y=1/3 mx3+ (m-1)x2+ (2-3m)x+1 tồn tại đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x+ 2y – 3= 0.
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định trên R.
Ta có: y'=mx2+2 (m-1)x+2-3m.
Ví dụ 18 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=1/3x3 +m/2x2+1/3 (m là tham số).
Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0
A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4
Bài giải:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Biết rằng trên đồ thị (C): y = x3- (m+1)x2+ (4m+2)x+1 tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x+ 10y+ 2013= 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm đó
A. y= - 3x+ 4 B. y= 6x- 9
C. y= 10x – 9 D. y= - 8x+ 12
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 3x2 - 2 (m+ 1)x + 4m+ 2
+ Gọi tiếp điểm là M (a; b), tiếp tuyến tại M có hệ số góc là:
k2=y' (a)=3a2-2 (m+1)a+4m+2 (1)
Do tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng d: x+ 10y+ 2013 = 0 nên:
k1. k2 = -1 ⇒ k2 = 10 (2)
Từ (1) và (2)suy ra: 3a2-2 (m+1)a+4m+2=10
⇔ 3a2-2 (m+1)a+4m-8=0 (*)
Trên đồ thị (C) chỉ có đúng một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d nên (*) có nghiệm kép hay
⇔ (m+ 1)2 – 3 (4m- 8) = 0 ⇔ m2+2m+ 1 – 12m + 24 = 0
⇔ m2 – 10m + 25 = 0 ⇔ m= 5
thay vào (*) ta được a = 2 ⇔ M (2; 29).
Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y= 10x+ 9
Chọn C.
Câu 2: Cho hàm số y= x3- 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.
A. y= 2; y= -1 B, y= 3; y= - 1 C. y= 3; y= -2 D. x= 3; x= - 1
Ta có đạo hàm y’= 3x2- 3. Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm.
Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên tiếp tuyến có dạng y+ c= 0
⇒ y' (x0)=0 ⇔ 3x02-3=0 ⇒ x0= ±1
+ Với x0= 1 ta có y0= - 1 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (1; -1) là
y+ 1= 0 (x – 1) hay y= -1
+ Với x0= - 1 ta có yo= 3 nên phương trình tiếp tuyến tại điểm (-1; 3) là:
y- 3= 0 (x+ 1) hay y= 3
Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là y= 3 và y= -1
Chọn B.
Câu 3: Cho đồ thị hàm số (C); y= (2x+2)/ (x-1). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân
Hàm số xác định với mọi x≠1. Ta có đạo hàm: y'= (-4)/ (x-1)2 < 0 với mọi x.
Gọi M (x0; y0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C).
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân
⇒ tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y= ±x, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hoặc - 1.
Mà y’< 0 nên ta có:
Câu 4: Cho hàm số y=3x-2/x-2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo với trục hoành một góc
Câu 5: Cho hàm số y = ((3m+1)x-m2+m)/ (x+m)có đồ thị là (C);. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng d: x – y- 10 = 0.
Câu 6: Cho hàm số y=x3-2x2+2x" " có đồ thị (C). Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm M; N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=-x+2017. Khi đó x1+ x2 bằng:
Ta có: 3x2 -4x+2.
Tiếp tuyến tại M; N của (C) vuông góc với đường thẳng y= -x+ 2017.
Nên tiếp tuyến tại M và N có hệ số góc là 1
Hoành độ x1; x2 của các điểm M; N là nghiệm của phương trình: 3x2-4x+2=1.
Suy ra (hệ thức Vi-et).
Chọn A.
Câu 7: Cho đường cong (C):y= (3x+1)/ (1-x). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x-4y-21=0.
A: y= -x-1/4 B: 2y+4x-1=0 C: x-4y-5=0 D: Đáp án khác
Câu 8: Cho hàm số y=f (x)= (x2-x+2)/ (x-1)(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k=1.
A: y+x-6=0 B: x-y+6=0 C: -x+y+6=0 D: không có đường thẳng nào
Câu 9: Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C): y=x3-2x2+ (m-1)x+2mvuông góc với đường thẳng y= - x
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Câu 10: Tìm m để đồ thị: y=1/3 mx3+ (m-1)x2+ (3m-4)x+1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x- y+ 2013= 0.
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= mx2+ 2 (m -1) x+ 3m- 4.
Đường thẳng d: x- y+ 2013= 0 ⇔ y= x+ 2013 đường thẳng này có hệ số góc k= 1.
Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng x- y+ 2013= 0 khi và chỉ khi hay mx2+2 (m-1)x+3m-4=-1
hay mx2+2 (m-1)x+3m-3=0 (*) có nghiệm.
+ Nếu m = 0 thì (*) trở thành: - 2x – 3= 0 hay x= (- 3)/2 (thỏa mãn).
+ Nếu m≠0 thì để phương trình (*) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ 0
⇔ (m- 1)2 - m (3m- 3) ≥ 0 ⇔ m2 - 2m+ 1 – 3m2 + 3m ≥ 0
⇔ - 2m2 + m + 1 ≥ 0 ⇔ -1/2≤ m≤ 1.
Vậy điều kiện -1/2≤ m≤ 1 thỏa mãn đầu bài
Chọn B
Câu 11: Cho hàm số: y=2x+2/x-1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y= - 4x+ 1.
Câu 12: Cho hàm số: y=2x=2/x-1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.
A. y= -x- 1; y= -x+ 6. B. y= -x- 1; y = -x+ 7
C. y= -x+ 2; y= -x+ 1 D. y= -x+ 1; y= -x+ 7
Câu 13: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/ (x-1),biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
Câu 14: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/ (x-1) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x+ 2y = 0
Câu 15: Gọi (C) là đồ thị của hàm số x3/-x2+2x+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=-x/5+2
Câu 16: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=x3/3-x2+2x+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ).
A. y = x +1/3. B. y = x + 4/3. C. y = x + 4/13. D. y = x - 4/3.
Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là, suy ra hệ số góc của (D) là "k" D =±1
+ Trường hợp "k" D =1, khi đó phương trình (D): y = x + a. (a
Câu 17: Cho hàm số y=x3-2x2+ (m-1)x+2m có đồ thị là (C). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= 1 song song với đường thẳng d: y= 3x+ 10.
A. m= 2 B. m= 4 C. m =0 D. Không tồn tại m
Ta có: y'=3x2-4x +m-1.
+ Tại x= 1 thì y (1)= 3m- 2 và y’ (1)=m- 2
⇒ Tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm có hoành độ x= 1 có phương trình
y= (m-2)(x-1)+3m-2= (m-2)x+2m
+ Để tiếp tuyến ∆// d khi và chỉ khi:
Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.