Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ, cần xác định được hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng Δ. Khi đó, MH chính là khoảng cách từ M đến đường thẳng. Điểm H thường được dựng theo 2 cách sau:
+ Trong mặt phẳng (M; Δ) vẽ MH vuông góc Δ ⇒ d (M; Δ) = MH
+ Dựng mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với Δ tại H ⇒ d (M; Δ) = MH.
- Hai công thức sau thường được dùng để tính MH:
+ Tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH thì
+ MH là đường cao của ∆ MAB thì
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích Δ ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
A. 2a
B. 4a
C. 3a
D. 5a
Bài giải:
+ Kẻ AH vuông góc với BC
Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC
Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH)
⇒ SH ⊥ BC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH
+ Ta có tam giác vuông SAH vuông tại A nên ta có
Đáp án đúng là: D
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√ 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:
Bài giải:
+ Do tam giác BCD đều cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời là đường cao và MC = a√ 3/2
+ Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM
Ta có:
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA; SB; SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Xét trong tam giác SBC vuông tại S có SH là đường cao ta có:
+ Ta dễ chứng minh được AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH
⇒ tam giác SAH vuông tại S.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác ASH vuông tại S ta có:
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 4: Cho hình chóp A. BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a√ 2 và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có:
(Định lý 3 đường vuông góc)
⇒ d (A, BD) = AM, CM = a√ 3/2 (vì tam giác BCD đều).
+ AC vuông góc (BCD) nên AC vuông góc CM hay tam giác ACM vuông tại C.
⇒Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠ B = 60°. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Kẻ AH ⊥ SC, khi đó d (A; SC) = AH
+ Do ABCD là hình thoi cạnh bằng a và ∠ B = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ AC = a
+ Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc AC hay tam giác SAC vuông tại A.
Trong tam giác vuông ta có:
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD); SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
+ Kẻ OH ⊥ SC, khi đó d (O; SC) = OH
+ Ta có: Δ SAC ∼ Δ OHC (g. g) (g-g) nên
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
+ Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
+ Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy là α nên: ∠ SDO = α
Kẻ OH ⊥ SD, khi đó d (O, SD) = OH
Ta có: BD = a√ a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√ 2 = (a√ 2)/2
+ Xét tam giác vuông OHD:
OH = OD. sinα = (a√ 2/2).sinα
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S. ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = a√ 3, BC = a√ 6. Khoảng cách từ B đến SC bằng
A. a√ 2
B. 2a
C. 2a√ 3
D. a√ 3
Chọn B
+ Vì SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ SB.
+ Kẻ BH ⊥ SC, khi đó d (B; SC) = BH.
Ta có:
Trong tam giác SBC vuông tại B ta có:
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng
Gọi M là trung điểm của CD’
Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√ 2.
+ Tam giác ACD’ có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao AM ⊥ CD'.
d (A; CD’) = AM = AC. sin (ACM) = a√ 2. sin60° = (a√ 6)/2
Đáp án: B
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’ bằng
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB’.
Ta có:
⇒ AD ⊥ AB'
Xét tam giác ADB’ vuông tại A; đường cao AH:
Đáp án D
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC’ bằng nhau?
A. A’, B, C’
B. B, C, D
C. B’, C’, D’
D. A, A’, D’
Dễ thấy các tam giác ABC’, C’CA, ADC’ là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống canh huyền cũng bằng nhau.
Vậy: d (B; AC’) = d (C; AC’) = d (D; AC’)
Đáp án B
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√ 3/3. Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA bằng
Chọn B
Vì hình chóp S. ABC đều có SO là đường cao
⇒ O là tâm của tam giác ABC.
+ Gọi I là trung điểm cạnh BC.
Tam giác ABC đều nên
Kẻ OH ⊥ SA; khi đó d (O; SA) = OH
Xét tam giác SAO vuông tại O:
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’ bằng
Gọi M là trung điểm của CD’
Do ABCD. A'B'C'D' là hình lập phương nên tam giác ACD’ là tam giác đều cạnh a√ 2