Tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo 1 trong 3 cách sau:
Cách 1: Tìm hai đường thẳng a; b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β).
Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mặt phẳng (α) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mặt phẳng (β) thì S’ = S. cosφ.
⇒ cosα ⇒ φ
Cách 3: Xác định cụ thể góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.
+ Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng
+ Bước 2: Chọn mặt phẳng (γ) vuông góc Δ
+ Bước 3: Tìm các giao tuyến (γ) với (α); (β)
⇒ ((α), (β)) = (a, b)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠ CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠ AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Bài giải:
+ Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ BI (1)
+ Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD
⇒ CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).
⇒ (BCD) ⊥ (ABI) Và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠ AIB.
=> Khẳng định A là sai
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Bài giải:
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√ 3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√ 3/2
Do đó, ( (ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠ CID = α
Xét ∆ CID có:
Khẳng định A đúng
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
+ Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ (ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
+ Tam giác SCD là cân tại S; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠ SMH = α
Từ giả thiết suy ra ∆ SCD là ∆ đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√ 3/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông cân ở A và có đường cao AH (H ∈ BC). Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ (ABC)
B. O ∈ SH
C. (SAH) ⊥ (SBC)
D. ( (SBC), (ABC)) = ∠ SBA
Bài giải:
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠ BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Góc giữa hai mặt phẳng (SOF)và (SBC) là
A. 90°
B. 60°
C. 30°
D. 45°
Bài giải:
Tam giác BCD có BC = BD và ∠ BCD = 60° nên ∆ BCD đều
Lại có E là trung điểm BC ⇒ DE ⊥ BC
Mặt khác, ∆ BDE có OF là đường trung bình
⇒ OF // DE ⇒ BC ⊥ OF (1).
+ Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ BC ⊥ SO (2).
+ Từ (1) và (2) => BC ⊥ (SOF) ⇒ (SBC) ⊥ (sOF)
Vậy, góc giữa (SOF) và (SBC) bằng 90°
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
A. 30°
B. 90°
C. 60°
D. 45°
Bài giải:
Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) (SH ⊥ (ABCD))
+ Do SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABCD) là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
+ Mà ABC cân tại B (Vì BA = BC = a) ⇒ tâm H phải nằm trên BD ⇒ SH ⊂ (SBD)
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng:
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
Bài giải:
Gọi M’ là trung điểm OC.
Do S. ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD)
⇒ SO ⊥ OC.
Xét tam giác SOC vuông tại O đường trung tuyến OM có: OM = SC/2 = a/2
Chọn đáp án: C
Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và khoảng cách từ A đến BD bằng 2a/√ 5. Biết SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. (SAB) ⊥ (SAD)
B. (SAC) ⊥ (ABCD)
C. tanα = √ 5
D. α = ∠ SOA
Bài giải:
Gọi AK là khoảng cách từ A đến BD
Khi đó:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng (P), cạnh AC = a√ 2, AC tạo với (P) một góc 60°. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. (ABC) tạo với (P) góc 45°
B. BC tạo với (P) góc 30°
C. BC tạo với (P) góc 45°
D. BC tạo với (P) góc 60°
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (P)
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ∠ AIB
B. (BCD) ⊥ (AIB)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc ∠ CBD
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Chọn C
Xét phương án C:
Ta có:
Nên đáp án C sai
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC, gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
A. Góc SBA.
B. Góc SCA.
C. Góc SCB.
D. Góc SIA.
Chọn A
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ ABS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠ SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠ SDA
D. (SAC) ⊥ (SBD)
Chọn C
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết SO ⊥ (ABCD), SO = a√ 3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi α là góc hợp bởi mặt bên (SCD) với đáy. Khi đó tanα =?
Chọn D
Gọi M là trung điểm của CD
Do bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính a nên R = OA = a ⇒ AC = 2a ⇒ AB = AD = a√ 2
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC với SA = 2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Gọi CO ∩ AB = H suy ra H là trung điểm AB (vì Δ ABC đều)
Câu 7: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng:
Ta có:
Vì H là trung điểm của AB
⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ d (vì d // AB)
⇒ d ⊥ SK (theo định lý ba đường vuông góc)
Do đó: ∠ KSH = α là góc giữa (SAB) và (SCD)
Mà SH là đường cao trong tam giác SAB đều cạnh a ⇒ SH = a√ 3/2
Xét tam giác SHK vuông tại H có:
Vậy chọn đáp án B
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A1D1CB) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. α = 45°
B. α = 30°
C. α = 60°
D. α = 90°
Chọn đáp án A
Câu 9: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ ABS
B. (SAC) ⊥ (SBD)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠ SOA
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠ SDA
Chọn D
Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD. Tính của góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD).
Gọi H là trung điểm của AC khi đó BH ⊥ AC, DH ⊥ AC
Lại có: (ABC) ∩ (ACD) = AC
⇒ Góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD)của tứ diện bằng ∠ BHD
Câu 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ ABC = 60°. Các cạnh SA; SB; SC đều bằng a (√ 3/2). Gọi φ là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD). Giá trị tanφ bằng bao nhiêu?
A. 2√ 5 B. 3√ 5 C. 5√ 3 D. Đáp án khác
Do AB = BC và ∠ ABC = 60° nên tam giác ABC đều
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)
Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chọn D
Câu 12: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√ 2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (SBC) ⊥ (SAC)
B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) song song với AB
C. (SDC) tạo với (BCD) một góc 60°
D. (SBC) tạo với đáy một góc 45°
Vậy chọn C
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB = AA’ = a; AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α.
A. α ≈ 20° 45' B. α ≈ 24° 5' C. α ≈ 30° 18' D. α ≈ 25° 48'
Chọn B.
Từ giả thiết ta suy ra: AA' ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABCD)
⇒ (A'C, (ABCD)) = (A'C, AC) = ∠ A'CA = α
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ AC = a√ 5.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA’C vuông tại A ta có:
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D'. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√ 2.
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√ 3
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
D. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.
ABCD. A'B'C'D' là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A’BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau.
Gọi S1 là diện tích các tam giác này
Lại có S1 = SAD'B.cosα
⇒ Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.
Vậy chọn đáp án D
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Chọn C
+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên tính được: AN = a (√ 3)/2
Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm tam giác ABC
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√ 2 và chiều cao bằng a√ 2/2. Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Chọn B
Giả sử hình chóp đã cho là S. ABCD có đường cao SH.
Ta có: (ABCD) ∩ (SCD) = CD
Gọi M là trung điểm của CD
+ Ta có: SH ⊥ CD và HM ⊥ CDnên CD ⊥ (SHM)
SM ⊥ CD.
( (ABCD), (SCD)) = (HM, SM) = ∠ SMH
Mặt khác: HM là đường trung bình của tam giác ACD nên HM = (1/2)AD = a√ 2/2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H, ta có:
Chọn B
Câu 17: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√ 3. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Ta có SB = SD = 2a
⇒ Δ SCD = Δ SCB (c. c. c)
⇒ Chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau; BH = DH
Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên HO ⊥ BD hay tam giác HOB vuông tại O
Chọn đáp án C
Câu 18: Cho hình chóp S. ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?
A. 30° B. 45° C. 90° D. 60°
Ta có: SC ⊥ BD (vì BD ⊥ AC, BD ⊥ SA)
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SC thì ta có SC ⊥ (BID)
Khi đó ((SCB), (SCD)) = ∠ BID
Trong tam giác SAC, kẻ đường cao AH thì AH = a (√ 2/√ 3)
Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI = a/√ 6
Tam giác IOD vuông tại O có ∠ OID = √ 3 ⇒ ∠ OID = 60°
Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60°
Chọn D.
Câu 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.
A. x = 3a/2 B. x = a/2 C. x = a D. x = 2a
* Trong (SAB) dựng AI ⊥ SB ta chứng minh được AI ⊥ (SBC) (1)
Trong (SAD) dựng AJ ⊥ SD ta chứng minh được AJ ⊥ (SCD) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ góc ((SBC), (SCD)) = (AI, AJ) = ∠ IAJ
* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc ∠ IAJ = 60° thì Δ AIJ đều ⇒ AI = AJ = IJ
Tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao
Chọn C
Câu 20: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là:
A. ∠ CSF B. ∠ BSF C. ∠ BSE D. ∠ CSE
Ta có: E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác: EF // BC
Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là: ∠ BSE
Chọn C
Câu 21:. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a (√ 3/2), CE = a√ 3. Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?
A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Suy ra tam giác ADE cân tại D.
Gọi H là trung điểm AE, ta có