Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) ta thực hiện theo 3 bước sau:
+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)
+ Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (α)
+ Bước 3: Góc ∠ AOA' = φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α)
Chú ý:
- Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (α) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (α) khi đó AA’ // b.
- Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong ∆ vuông OAA’.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACB
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc ACB
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2: Cho ∆ ABC vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√ 6)a/2. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Từ giả thiết => SA ⊥ (ABC) ⇒ (SA, (ABC)) = 90°
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Gọi H là trung điểm của BC => AH = BH = CH = (1/2)BC = a/2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD). Biết SA = a (√ 6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD).
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết ∆ SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 60°
B. 90°
C. 45°
D. 30°
Bài giải:
Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Vậy AH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABC).
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) = ∠ SAH
Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH
Mà: Δ ABC = Δ SBC ⇒ SH = AH
Vậy ∆ SAH vuông cân tại H ⇒ SAH = 45°
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 6: Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a; BD = 2AC. Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD). Biết tan (SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và (ABCD)
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Gọi M là trung điểm BC.
Tam giác ABC vuông đường trung tuyến AM nên:
AM = BM = a/2, SB = a
Có SM ⊥ (ABC) nên AM là hình chiếu của SA lên mp (ABC)
⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AM) = ∠ SAM
Áp dụng định lý Pytago
Xét tam giác SAM có
tan (SAM) = SM/AM = √ 3 ⇒ ∠ SAM = 60°
Vậy chọn C
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:
A. 45°Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp (ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp (SAD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Gọi I là trung điểm AS.
+ Ta chứng minh AD ⊥ (SAB):
Do AD ⊥ AB và AD ⊥ SH (vì SH ⊥ (ABCD)
⇒ AD ⊥ (SAB) nên AD ⊥ BI.
Lại có: BI ⊥ SA
⇒ BI ⊥ (SAD)
⇒ góc giữa BD và (SAD) là góc ∠ IDB
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√ 6. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)
⇒ Góc giữa giữa SC và mp (ABCD) bằng góc giữa SC và AC
⇒ α = ∠ SCA
Xét tam giác SAC vuông tại A có:
Chọn D
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp (A'BCD'). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?