Tính độ dài đoạn thẳng trong không gian - Chuyên đề Toán 11
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Độ dài đường chéo AC' là
Bài giải:
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào ∆ vuông ABB’ ta có:
Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên:
B’C’ ⊥ (ABB'A') ⇒ B'C ⊥ AB'
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào ∆ vuông AB’C’ ta có:
Vậy đường chéo hình hộp chữ nhật
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC’ = c. Nếu: AC' = BD' = B'D = √ (a2 + b2 + c2) thì hình hộp là
A. Hình lập phương
B. Hình hộp chữ nhật
C. Hình hộp thoi
D. Hình hộp đứng
Bài giải:
Nếu BD’= B’D ⇒ hình bình hành BDD’B’ là hình chữ nhật
Nếu AC’= B’D ⇒ hình bình hành ADC’B’ là hình chữ nhật
⇒ nếu AC’ = BD’ = B’D thì hình hộp là hình hộp chữ nhật.
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến d của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB= 8. Gọi C là một điểm trên (P), D là một điểm trên (Q) sao cho AC; BD cùng vuông góc với giao tuyến d và AC = 6; BD = 24. Độ dài CD là:
A. 20
B. 22
C. 30
D. 26
Bài giải:
Tam giác ABC vuông tại A nên
Ví dụ 4: Cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. O. ABC là hình chóp đều
B. Tam giác ABC có diện tích
C. Tam giác ABC có chu vi
D. Ba mặt phẳng (OAB), (OBC) và (OAC) vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài giải:
Khẳng định sai là: C
+ Áp dụng định lý Pitago trong ∆ OAB vuông tại O ta có:
AB2 = OA2 + OB2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ AB = a√ 2
Hoàn toàn tương tự ta tính được BC = AC = a√ 2.
⇒ Tam giác ABC là ∆ đều.
Mặt khác theo giả thiết: OA = OB = OC = a
⇒ Các mặt bên của hình chóp O. ABC là các ∆ cân tại O còn đáy ABC là ∆ đều
⇒ O. ABC là hình chóp đều ⇒ Phương án A đúng.
+ Chu vi ∆ BAC là:
⇒ Phương án C sai
+ Nửa chu vi ∆ ABC là: p = 3a (√ 2)/2.
Áp dụng công thức Hê - rông, diện tích ∆ ABC là:
Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và ∠ A = 60°. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABDC) tại O (O là tâm của ABCD), lấy điểm S sao cho ∆ SAC là tam giác đều. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S. ABCD là hình chóp đều.
B. Hình chóp S. ABCD có các mặt bên là các ∆ cân.
C. SO = 3a/2
D. SA và SB hợp với mặt phẳng (ABCD) những góc bằng nhau.
Bài giải:
Khẳng định đúng là: C
+ Xét ∆ ABD có ∠ = 60° và AB = AD = a
⇒ Tam giác ABD là ∆ đều cạnh a.
+ Vì O là tâm của ABCD nên suy ra AO là đường trung tuyến trong ∆ ABD đều cạnh a nên tính được:
+ Mặt khác theo giả thiết SAC là ∆ đều ⇒ SA = SC = AC = a√ 3
Áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác SOA ta có:
SO = √ (SA2 - AO2) = 3a/2
⇒ C đúng
Ví dụ 6: Cho hai ∆ ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính IJ theo a và x?
Bài giải:
+ Tam giác ACD cân tại A có AJ đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: AJ ⊥ CD (1)
Tam giác BCD cân tại B có BJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: BJ ⊥ CD (2)
Vậy tam giác ABJ vuông tại J
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình chóp cụt đều ABC. A'B'C' với đáy lớn ABC có cạnh bằng a. Đáy nhỏ A’B’C’ có cạnh bằng a/2, chiều cao OO' = a/2. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng qui tại S.
B. AA' = BB' = CC' = a/2
C. Góc giữa mặt bên mặt đáy là góc SIO (I là trung điểm BC).
D. Đáy lớn ABC có diện tích gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ A’B’C’.
Chọn B
+ Đáp án A đúng.
+ Gọi I là trung điểm của BC.
Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được AA'/SA = OO'/SO = 1/2 ⇒ SO = 2OO' = a
Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, có AI là đường trung tuyến
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có:
Vì ABC. A'B'C' là hình chóp cụt đều nên AA' = BB' = CC' = a√ 3/3 ⇒ đáp án B sai.
+ Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC. Vì SBC cân tại S và I là trung điểm của BC nên suy ra SI ⊥ BC
Mặt khác tam giác ABC là tam giác đều có I là trung điểm của BC ⇒ AI ⊥ BC
Câu 2: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' cạnh của đáy nhỏ ABCD bằng a/3 và cạnh của đáy lớn A'B'C'D' bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính chiều cao OO’ của hình chóp cụt đã cho.
Chọn A
Ta có SO' ⊥ (A'B'C'D') ⊃ B'D' ⇒ SO' ⊥ B'D' ⇒ O'D' là hình chiếu vuông góc của SD’ lên (A’B’C’D’).
⇒ (SD', (ABCD)) = (SD', O'D') = ∠ SD'O' = 60°
Từ giả thiết dễ dàng chỉ ra được AA'/SA' = OO'/SO' = 1/3.
Vì tam giác A’D’C’ là tam giác vuông cân tại D’ có D’O’ là đường cao nên ta có:
Áp dụng hệ thức lượng trong SD’O’ vuông tại O’ ta có:
Câu 3: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh bên bằng a và ADD’A’ là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:
A. a B. a/2 C. a√ 3/3 D. a√ 2/2
Chọn B
+ Tổng số đo các góc của hình lục giác là 4.180° = 720°
Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều là 120° ⇒ ∠ FAB = 120°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:
+ AD là tia phân giác của góc ∠ FAB và ∠ EDC
⇒ ∠ FAD = ∠ FAB/2 = 60°
+ Tam giác AFD vuông tại F có ∠ FAD = 60° và AD = a ta suy ra:
Câu 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có ACC’A’ là hình vuông, cạnh bằng a. Cạnh đáy của hình lăng trụ bằng:
Chọn A.
+ Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên tam giác ABC vuông cân tại B. ⇒ ∠ BAC = ∠ BCA = 45°
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông cân tại B có ∠ BAC = 45° và cạnh AC = a, ta có:
Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy bằng 2a√ 3 và cạnh bên bằng 2a. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai đáy ABC và A’B’C’. Khẳng định nào sau đây đúng khi nói về AGG’A’?
A. AA'G'G là hình chữ nhật có hai kích thước là 2a và 3a.
B. AA'G'G là hình vuông có cạnh bằng 2a.
C. AA'G'G là hình chữ nhật có diện tích bằng 6a2.
D. AA'G'G là hình vuông có diện tích bằng 8a2.
Chọn B
Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta dễ dàng tính được:
AM = 2a√ 3. (√ 3/2) = 3a
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Lại có ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều nên
AGG’A’ là hình chữ nhật. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
AGG’A’ là hình vuông có cạnh bằng 2a
Câu 6: Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Tính AB theo a và x?
Gọi H là trung điểm của CD.
Vì tam giác ACD cân tại A (vì AC = AD = a) và tam giác BCD cân tại B
⇒ AH ⊥ CD, BH ⊥ CD
Ta có
Câu 7: Cho hình chóp đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH.
Chọn A
Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC.
Do S. ABC là hình chóp đều nên tam giác SBC cân tại S. Lại có SM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: ⇒ SM ⊥ BC
Tương tự ta chứng minh được: AM ⊥ BC
( (SBC), (ABC)) = (SM, AM) = ∠ SMA = ∠ SMH = 60°
Tam giác ABC đều cạnh a nên AM = a√ 3/2.
Vì H là chân đường cao của hình chóp đều S. ABC nên H trùng với trọng tâm của tam giác ABC
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H ta có:
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có AB = AA’= a, BC = 2a, CA = a√ 5. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Đáy ABC là tam giác vuông
B. Hai mặt (AA’B’B) và (BB’C’) vuông góc nhau.
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) có số đo bằng 45°
D. AC' = 2a√ 2
Chọn D
Ta chứng minh khẳng định D sai:
Do ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng nên CC’ = AA’ = a.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ACC’ vuông tại C ta có:
AC'2 = AC2 + CC'2 = 5a2 + a2 = 6a2 ⇒ AC' = a√ 6
⇒ Khẳng định D sai.
Chọn D.
Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh bằng a và góc ∠ A = 60°, cạnh SC = a√ 6/2 và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA tại K. Tính độ dài IK được
Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS (g. g)
+ Tam giác BCD và tam giác ABD là hai tam giác đều cạnh a
Tam giác SAC vuông tại C
Vậy IK = a/2