Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:
+ Bước 1: Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác (chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình).
+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1 = 0 thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x≤ π /2 là:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Hướng dẫn:
Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có sin2 x - sinx = 0
+ Với họ nghiệm x = kπ.
Ta có: 0 < kπ < 2π
⇒ 0 < k < 2
Mà k nguyên nên k = 1
+ Với họ nghiệm x = π/2 + k2π
Ta có: 0 < π/2 + k2π < 2π
⇒ - π/2 < k2π < 3π/2
⇒ (- 1)/4 < k < 3/4
Mà k nguyên nên k = 0
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)
Ví dụ 3. Cho phương trình cos (x - 1800) + 2sin (900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x - 1800) = - cosx và sin (900- x) = cosx
Do đó; cos (x - 1800) + 2sin (900 – x)
⇒ - cosx + 2cosx = 1
⇒ cosx = 1
⇒ x = k. 3600
Với x ∈ (900; 3600) ta có:
900 < x < 3600
⇒ 900 < k. 3600 < 3600
⇒ 1/4 < k < 1
⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn
Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]
A. 4
B. 3
C. 5
D. 6
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cosx – sin2x = 0
⇒ cosx = sin 2x
⇒ cosx = cos (900 - 2x)
+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600]
* Với họ nghiệm: x = 300 + k. 1200 ta có:
00 ≤ 300 + k. 1200 ≤ 3600
⇒ -300 ≤ k. 1200 ≤ 3300
⇒ (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4
Mà k nguyên nên k = 0; 1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700
* Với họ nghiệm x = 900 - k. 3600 ta có:
00 ≤ 900- k. 3600 ≤ 3600
⇒ - 900 ≤ -k. 3600 ≤ 2700
⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó nghiệm phương trình là x = 900
⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm
Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan2 x + 4tanx – 2 = 0 trên khoảng (900; 2700)
A. 1350
B. 1650
C. 2250
D. Tất cả sai
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2 = 0
⇒ - 2 (tanx- 1)2 = 0
⇒ tan x = 1
⇒ x = 450 + k. 1800
Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700)
Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k. 1800 < 2700
⇒ 450 < k. 1800 < 2250
⇒ 1/4 < k < 5/4
Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x = 2250
Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx + 1 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]
A. 0
B. 3
C. 4
D. 2
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: cos0 x + sinx + 1 = 0
⇒ 1 - sin0 x + sinx + 1 = 0
⇒ - sin0 x + sinx + 2 = 0
⇒ sinx = - 1
⇒ x = 2700 + k. 3600
+ Ta có: 00 ≤ 2700 + k. 3600 ≤ 7200
⇒ -2700 ≤ k. 3600 ≤ 4500
⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4
Mà k nguyên nên k = 0 hoặc k = 1.
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200]
Ví dụ 7. Cho phương trình sin2 2x + 2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).
A. 900
B. 1800
C. 1650
D. 2700
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn
Ta có: sin2 2x + 2cos2 x = 0
⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x = 0
⇒ - cos2 2x + cos2x + 2 = 0
Với cos2x = -1
⇒ 2x = 1800 + k. 3600
⇒ x = 900 + k. 1800
Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800)
⇒ 00 < 900+ k. 1800 < 1800
⇒ -900 < k. 1800 < 900
⇒ (- 1)/2 < k < 1/2
K nguyên nên k = 0. Khi đó; x = 900
Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x - sin4 x = 0 trên khoảng (0; 2π)
A. 15π/4
B. 13π/4
C. 5π/2
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cos4 x - sin4 x = 0
⇒ (cos2 x – sin2 x). (cos2 x + sin2 x) = 0
⇒ cos2x. 1 = 0
⇒ cos2x = 0
⇒ 2x = π/2 + kπ
⇒ x = π/4 + kπ/2
Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 2π)
Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4 + kπ/2 < 2π
⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4
⇒ 1/2 < k < 7/2
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}
⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (0; 2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4
⇒ Tổng các nghiệm là: 15π/4
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho phương trình
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Điều kiện: cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π
Với điều kiện trên phương trình trên trở thành:
+Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ
Kết hợp với điều kiện suy ra: x= (2k+1).π
Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ (2k+1)π ≤ 4π
⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2
Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1.
⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π]
+ Trường hợp 2:
Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π (thỏa mãn điều kiện).
Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1.
Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π]
Chọn B.
Câu 2: Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx + 6 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (2π; 6π)?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: - 2sin2x - 6cosx+ 6= 0
⇒ (2 -2sin2x) – 6cosx+ 4=0
⇒ 2cos2 x- 6cosx + 4= 0
Với cosx= 1 ⇒ x = k2π
Ta có: x∈ (2π; 6π) nên 2π < k2π < 6π
⇒ 1 < k < 3
Mà k nguyên nên k= 1.
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng (2π; 6π).
Chọn A.
Câu 3: Cho phương trình: 2cos2 x- √ 3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 2π)?
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Ta có: 2cos2x- √ 3 cosx=0
⇒ cosx. ( 2cosx- √ 3)=0
+ Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π
Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π
⇒ 0 < k < 1
Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn.
Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét.
⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π).
Chọn C.
Câu 4:Cho phương trình:
A. 3
B. 5
C. 6
D. 4
Mà k nguyên nên k∈ {2; 3; 4; 5}
⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét.
Chọn D.
Câu 5: Cho phương trình: tan4 x - 3tan2 x = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ
Ta có: tan4x - 3tan2 x=0
⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0
+ Xét họ nghiệm x= kπ
⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3;.. ;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn.
+ Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ
⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3
Mà k nguyên nên k∈ {0; 1; 2; …; 9} có 10 giá trị của k thỏa mãn.
+ Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ
⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; …; 9; 10} có 10 giá trị của k thỏa mãn.
Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả:
9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng (0; 10π)
Chọn C.
Câu 6: Cho phương trình: sin2 x + 1 - sin2 2x = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2; 2π]
A. 5
B. 3
C. 4
D. 6
Ta có; sin2 x+ 1- sin22x= 1
⇒ 2sin2 x + 2. (1- sin22x)- 2 = 0
⇒ 1- cos2x + 2. cos22x - 2 =0
⇒ 2cos22x – cos2x - 1 = 0
+ Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π
⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.
+ Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π
⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1.
+ π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π
⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.
Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2; 2π]
Chọn A.
Câu 7: Cho phương trình 3cot (x + π/3) = 3√ 3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π; 8π]?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Mà k nguyên nên k∈ {3; 4;.. ; 8}
⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π; 8π].
Chọn B.
Câu 8: Cho phương trình:
A. 3
B. 5
C. 4
D. 6
Điều kiện:
⇒ tanx + 2 tanx = 3cos22x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1)
⇒ 3tanx = 3 (vì cos2 2x + sin22x = 1)
⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ (thỏa mãn điều kiện).
⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π).
Chọn C.