Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn) - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Để giải phương trình trên khoảng (a; b) (hoặc trên đoạn) thì ta cần:
• Bước 1: Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho.
• Bước 2: Giải bất phương trình:
⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ Các nghiệm của phương trình trong khoảng (đoạn) đã cho.
+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần:
• Bươc 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu có).
• Bước 2: Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 4: Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng (π/4; 2π) là?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có tanx = tan (3π/11)
⇔ x = 3π/11 + kπ k∈Z
Do x∈ (π/4; 2π) nên π/4 < 3π/11 + kπ < 2π
⇔ 1/4 < 3/11 + k < 2
⇔ (- 1)/44 < k < 19/11
Mà k nguyên nên k ∈ {0; 1}
Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình: sin (x- π/4)= (- 1)/√ 2 với là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Hướng dẫn:
Ta có: sin (x - π/4) = (- 1)/√ 2
⇒ sin (x - π/4) = sin (- π/4)
+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π
⇒ π ≤ k2π ≤ 5π
⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2
Mà k nguyên nên k = 1 hoặc k = 2
⇒ Họ nghiệm này cho ta 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện.
+ Xét họ nghiệm x = 3π/2 + k2π với π ≤ x ≤ 5π
⇒ π ≤ 3π/2 + k2π ≤ 5π
⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2
Vì k nguyên nên k∈ {0; 1}.
⇒ Họ nghiệm này cho ta 2 nghiệm của x thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện => Chọn D
Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình: cos (x + π/3) = √ 2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x + π/3) = √ 2/2
⇒ cos (x + π/3) = cos π/4
+ Xét họ nghiệm: x = -π/12 + k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12 + k2π ≤ 2π
⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12
⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x = 23π/12
+ Xét họ nghiệm x = -7π/12 + k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12 + k2π ≤ 2π
⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12
⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x = 17π/12
Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x = 23π/12 và x = 17π/12
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 1800)
A. 450; 1350
B. 1350
C. 450
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Hướng dẫn:
Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 450
⇔ x= 450+ k. 1800 với k∈ Z.
+Để 00 < x < 1800 thì 00 < 450+ k. 1800 < 1800
⇔ - 450 < k. 1800 < 1350
⇔ (- 45)/180 < k < 135/180
Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó; x = 450
Vậy phương trình tanx = 1 có một nghiệm thuộc khoảng (00; 1800)
Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0; π]
A. 3π/4
B. π/2
C. π/4
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x = cos (π/2-x)
⇔ x = π/4 + kπ
Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có:
0 < π/4 + kπ < π
⇔ - π/4 < kπ < 3π/4
⇔ (- 1)/4 < k < 3/4
Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x = π/4 => Chọn C
Ví dụ 6. Cho phương trình sin (x + π/6) = 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]
A. π/6
B. π/3
C. x= 4π/3
D. x= 2π/3
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: sin (x + π/6) = 1/2
⇒ sin (x + π/6) = sin π/6
+ Xét họ nghiệm x = k2π. Ta có:
0 ≤ k2π ≤ π
⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó, nghiệm của phương trình là x= 0
+ Xét họ nghiệm x = 2π/3 + k2π. Ta có: 0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6
Mà k nguyên nên k = 0. Khi đó, x = 2π/3
Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0 và x = 2π/3
⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3
Ví dụ 7. Cho phương trình tan (x + 450) = √ 3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)
A. 1750
B. 1950
C. 2150
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: tan (x + 450) = √ 3
⇔ tan (x + 450) = tan 600
⇔ x + 450 = 600 + k. 1800
⇔ x= 150 +k. 1800
Các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600) thỏa mãn:
900 < 150 + k. 1800 < 3600
< 750 < k. 1800 < 3450
< 75/180 < k < 345/180
Mà k nguyên nên k= 1
Với k = 1 ta có x= 1950
Ví dụ 8. Cho phương trình sinx = 0. Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (00; a0) là 3. Tìm điều kiện của a.
A. a > 540
B. a > 360
C. a > 270
D. a > 630
Bài giải:
Ta có: sinx = 0 ⇒ x = k. 1800 với k nguyên
Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (00; a0)
00 < k. 1800 < a0
⇒ 0 < k < a/180 (1)
Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (00;a0) nên k∈ {1; 2; 3} (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540
Vậy điều kiện của a là a > 540.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 9. Cho phương trình tan (x + π/3) = √ 3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (0; 6π).
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: tan (x + π/3) = √ 3
⇔ tan (x + π/3) = tan π/3
⇒ x + π/3 = π/3 + kπ
⇒ x = kπ với k nguyên
Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 6π) thỏa mãn:
0 < kπ < 6π
⇒ 0 < k < 6
Do k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; 4; 5}
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên (0; 6π) là 5.
Ví dụ 10. Cho phương trình cos (x + 300) = cos (x + 900). Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300]
A. 3
B. 2
C. 4
D. 5
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x+ 300) = cos (x+ 900)
Các nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300] thỏa mãn:
⇔ 1800 ≤ 300 + k1800 ≤ 6300
⇔ 1500 ≤ k1800 ≤ 6000
⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3
Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [1800; 6300] là 3
Ví dụ 11. Cho phương trình cot (x - 300) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (- 2700; 00)
A. 4
B. 3
C. 5
D. 2
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: cot (x - 300) = tanx
⇔ cot (x - 300) = cot (900- x)
⇔ x - 300 = 900 – x + k. 1800
⇔ 2x = 1200 + k. 1800 ⇔ x = 600 + k. 1800
Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-2700; 00) thỏa mãn:
- 2700 < 600 + k. 1800 < 00
⇔ -3300 < k. 1800 < - 600
⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3
Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1}
Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-2700; 00)
Ví dụ 12. Cho phương trình: √ 3cosx + m - 1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A. m < 1 - √ 3.
B. m > 1 + √ 3.
C. 1 - √ 3 ≤ m ≤ 1 + √ 3.
D. -√ 3 ≤ m ≤ √ 3.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho phương trình √ 6 sinx - (3√ 2)/2 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 4π)?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.
+ Tương tự; có 0 < 2π/3+k2π < 4π nên (-2π)/3 < k2π < 10π/3
⇒ (- 2)/6 < k < 10/6, mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.
⇒ Phương trình đã cho có tất cả bốn nghiệm trên khoảng (0; 4π)
Chọn A.
Câu 2:Cho phương trình sin (x+ 100) = cos (x- 200). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (900; 3600)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Ta có: sin (x+100) = cos (x-200)
⇔ sin (x+100) = sin (900- x+ 200)
⇔ sin (x+100) = sin (1100- x)
Ta có: 900 < 500+ k. 1800 < 3600
⇔ 400 < k. 1800 < 3100 ⇒ 4/18 < k < 31/18
Mà k nguyên nên k= 1.
⇒ Trên khoảng (900;3600) phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos (2x- 300) trên khoảng (600; 3600)
A. 0
B. 2
C. 3
D. 1
Lời giải
Ta có: sinx= cos (2x- 300)
⇔ cos (900- x) =cos (2x- 300)
+ khi đó: 600 < 400 – k. 3600 < 3600
⇔ 200 < - k. 3600 < 3200
⇔ (-32)/36 < k < (- 1)/18
Mà k nguyên nên không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn.
+ Tương tự; 600 < -600 + k. 3600 < 3600
⇔ 1200 < k. 3600 < 4200
⇔ 1/3 < k < 7/6
Mà k nguyên nên k= 1.
⇒ Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng (600;3600)
Chọn D.
Câu 4: Cho phương trình: √ 6 cot (π/2-x)+ √ 2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (π; 4π)?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Ta có: √ 6 cot (π/2-x)+ √ 2=0
⇔ √ 6. tanx+ √ 2=0
⇔ tanx= (- 1)/√ 3 = tan (-π)/6
⇔ x= (-π)/6+kπ
+ khi đó; π < (-π)/6+kπ < 4π
⇔ 7π/6 < kπ < 25π/6 ⇔ 7/6 < k < 25/6
Mà k nguyên nên k∈ {2; 3; 4}.
⇒ phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc khoảng (π; 4π).
Chọn B.
Câu 5:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là
A. -1≤ m≤ 1.
B. m≤ 0.
C. m≥ -2.
D. -2≤ m≤ 0.
Chọn D.
Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosx=a
+ Phương trình có nghiệm khi
+ Phương trình có nghiệm khi
Ta có phương trình cosx = m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 6: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:
A.
B.
C.
D.
Chọn C.
sin4x + cos5x=0 ⇒ cos5x=-sin4x
Với nghiệm x=π/2+k2π ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -3π/2 và π/2
Với nghiệm x=-π/18 + k2π/9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -π/18 và π/6
Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là -π/18 và π/6
Câu 7:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên
A. 7π/18
B. 4π/18
C. 47π/8
D. 47π/18
Ta có: sin (5x+ π/3)=cos (2x- π/3)
Suy ra các nghiệm: x=11π/18
Vậy tổng các nghiệm là: 47π/18.
Chọn D.
Câu 8:Trong nửa khoảng, phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 9:Cho phương trình sinx + √ 3. sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (4π; 10π)?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 4 Lời giải
Ta có: sinx + √ 3. sin π/6=0 ⇒ sinx + √ 3.1/2=0
⇔ sin x= (- √ 3)/2=sin (-π)/3
+ Ta có: 4π < (-π)/3+k2π < 10π
⇔ 13π/3 < k2π < 31π/3 ⇔ 13/6 < k < 31/6
Mà k nguyên nên k∈ {3; 4; 5}
+ Tương tự; ta có: 4π < 4π/3+k2π < 10π
⇔ 8π/3 < k2π < 26π/3 ⇔ 4/3 < k < 13/3
Mà k nguyên nên k∈ {2; 3; 4}
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm trên khoảng (4π; 10π).
Chọn B.