Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau:
- Từ điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này.
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta sẽ được thiết diện.
Lưu ý:
+ Định lí: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó.
+ Hệ quả: Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Chọn mệnh đề sai
A. (IBC) ∩ (SAD) = Ix // AB // CD
B. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là đường trung bình của tam giác SAD
C. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) sẽ song song với (SBC)
D. Tất cả sai
Bài giải:
+ Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (IBC) và (SAD)
+ Trong mặt phẳng (SAD), gọi giao điểm của Ix và SD là J
⇒ IJ // BC.
Lại có: I là trung điểm của SA nên J là trung điểm của SD.
⇒ A và B đều đúng.
+ Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là IJ.
Xét ∆ SAD có I và J lần lượt là trung điểm của SA và SD nên IJ là đường trung bình của tam giác
⇒ IJ // AD // BC mà BC ⊂ (SBC)
⇒ IJ // mặt phẳng (SBC) nên C đúng
Vậy mệnh đề sai là: D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD. Chọn mệnh đề sai?
A. Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAD) là đường thẳng song song với (SCB)
B. Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABC) là đường thẳng song song với (ADM)
C. Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SCD) là đường thẳng song song với (SCB)
D. Giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SAB) là đường thẳng song song với SC
Bài giải:
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC. (với Q ∈ SD; O ∈ AC)
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)
+ Ta có giao tuyến của (OMQ) và (SAD) là MQ và MQ // AD (theo cách dựng)
Mà AD // BC và BC ⊂ mặt phẳng (SCB) nên MQ // mặt phẳng (SBC)
⇒ A đúng
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (ABCD) ta có
⇒ (OMQ) ∩ (ABCD) = Ox // MQ // AD
Gọi Ox cắt CD và AB lần lượt tại P và N. Khi đó: NP // AD // QM
Mà AD ⊂ (ADM) nên NP // mp (ADM)
⇒ B đúng.
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (SCD) có:
Mà SC ⊂ mặt phẳng (SCB) nên PQ // mặt phẳng (SCB)
⇒ C đúng
Mệnh đề sai là: D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD. Hai điểm M, N là hai điểm bất kì trên SB và CD. (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (α) và (SCD). Tìm mệnh đề đúng nhất về giao tuyến đó?
A. d đi qua M và song song SC
B. d đi qua N và song song SC
C. d đi qua D và song song MN.
D. Tất cả sai
Bài giải:
+ Xét 2 mặt phẳng (α) và mặt phẳng (SCD) có:
Mệnh đề đúng nhất là: B
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong ∆ ABC và (α) là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α)?
A. Thiết diện là hình vuông
B. Thiết diện là hình thang cân
C. Thiết diện là hình bình hành
D. Thiết diện là hình chữ nhật
Bài giải:
+ Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và đường thẳng này cắt BC; AC lần lượt tại M; N
+ Từ N kẻ NP song song với CD (P ∈ AD)
+ Từ P kẻ PQ song song với AB (Q ∈ BD).
+ Ta có: MN // PQ // AB => 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng.
Suy ra là thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là tứ giác MNPQ.
+ Cần chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Trước hết, ta chứng minh PN // QM
Lại có: PQ // MN
⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành
Mệnh đề đúng là: C
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 10; M là điểm trên SA sao cho SM/SA = 2/3. Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và AD cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là:
Bài giải:
+ Ta có: mặt phẳng (α) // AB và AD mà AB cắt AD tại A => mặt phẳng (α) // mặt phẳng (ABCD).
+ Giả sử mặt phẳng (α) cắt các mặt bên (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD) lần lượt theo các giao tuyến MN; NP; PQ và QM => mặt phẳng (α) ≡ mặt phẳng (MNPQ).
Mà S. ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông (3)
Từ (1); (2); (3) => MNPQ là hình vuông cạnh: NP= 2/3. BC= 2/3.10= 20/3
=> SMNPQ = (20/3)2 = 400/9
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M; N lần lượt là hai trung điểm của AB và CD; mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là
A. Hình bình hành
B. Hình thang
C. Hình chữ nhật
D. Hình vuông
Bài giải:
Xét hình thang ABCD, có M và N lần lượt là trung điểm của AB; CD
=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD và MN // BC // AD.
Lấy điểm P ∈ SB, qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt SC tại Q.
=> (P) ∩ (SBC) = PQ nên thiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ.
Lại có: MN // PQ // BC
⇒ Thiết diện là hình thang MNPQ
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA (không trùng với S hoặc A). Gọi (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là:
A. Hình bình hành
B. Hình thang
C. Hình chữ nhật
D. Hình tam giác
Bài giải:
Qua M kẻ đường thẳng MN // AD (N ∈ SD)
Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD // BC (P ∈ CD và Q ∈ AB)
=> MN // PQ // AD nên 4 điểm M; N; P; Q đồng phẳng
⇒ Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình thang MNPQ
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I; J lần lượt thuộc cạnh AD; BC sao cho IA = 2 ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là:
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình tam giác
D. Tam giác đều
Bài giải:
+ Giả sử cắt các mặt (ABC) và (ABD) theo hai giao tuyến JH và IK.
⇒ JH // IK // AB (ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc song song với nhau)
+ Theo định lí Thalet, ta có: JB/IC = HA/HC = 2
=> HA/HC = IA/ID (= 2)
⇒ IH // CD (1)
Mà IH ⊂ mặt phẳng (P) suy ra CD song song với mặt phẳng (P)
Từ (1) và (2) => IH // J K
Mà JH // IK
⇒ Tứ giác HIKJ là hình bình hành.
Do đó, thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là hình bình hành
Đáp án đúng là: B
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Trên cạnh SA lấy điểm M bất kì; trên cạnh SD lấy điểm N sao cho MN // BC. Gọi P là trung điểm của SB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (SBC)?
A. PC
B. PQ với Q là trung điểm SC
C. PS
D. PH với SH = 2 HC
+ Do MN // BC và BC ⊂ mp (SBC) nên MN // mp (SBC)
+ Tìm giao tuyến của mp (MNP) với mp (SBC)
Mà MN // BC nên Px // BC
+ Theo giả thiết P là trung điểm của SB nên Q là trung điểm của SC
Vậy giao tuyến của mp (MNP) với mp (SBC) là PQ với Q là trung điểm SC
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC, AD = 2BC, M là trung điểm SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là:
A. tam giác
B. hình bình hành
C. hình thang vuông
D. hình chữ nhật.
Chọn B
+ Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có:
Ba mặt phẳng (MBC), (SBC) và (SAD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến Mx; BC và AD.
⇒ Mx // BC // AD
+ Gọi Mx cắt SD tại N.
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MBC) là tứ giác MBCN.
+ Do MN // BC nên MBCN là hình thang.
Lại có MN // BC và M là trung điểm SA
⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD và MN = (1/2)AD = BC
⇒ thiết diện MBCN là hình bình hành
Câu 3: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là:
A. hình bình hành
B. hình chữ nhật
C. hình thang
D. hình thoi
Chọn A
+ Trên (ABC) kẻ MN // AB, N ∈ BC
+ Trên (BCD) kẻ NP // CD; P ∈ BD
Ta có (α) chính là mặt phẳng (MNP)
+ Ta tìm giao tuyến của mp (MNP) và (ACD):
Gọi Mx cắt AD tại Q
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MNP) là tứ giác MNPQ
+ Ta có 3 mp (MNP), (ABC) và (ABD) cắt nhau theo 3giao tuyến là NM, PQ và AB
⇒ MN // PQ // AB (định lí giao tuyến của ba mặt phẳng)
+ Xét tứ giác MQPN có: MQ // NP và MN // PQ
⇒ MNPQ là hình bình hành
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm S; gọi (P) là mặt phẳng qua I và B; đồng thời (P) // AD. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là:
A. Tam giác
B. Hình thang
C. Hình bình hành
D. Tam giác hoặc hình bình hành
+ Ta tìm giao tuyến của mp (P) và (SAD).
Gọi giao điểm của Ix và SD là J
⇒ IJ // AD // BC
+ Ta tìm giao tuyến của mp (P) và (SBC):
⇒ (P) ∩ (SBC) = BC
⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình thang IBCJ
Chọn B
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S. ABCD là hình gì? biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.
A. Tam giác
B. Tam giác cân
C. Tứ giác
D. Hình thang
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)
+ Dễ dàng tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, với NP // MQ // BC và O ∈ NP. Từ đó ta có:
Vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M; N là hai điểm trên SB; CD và (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là?
A. Tam giác cân
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Tam giác hoặc tứ giác
Chọn C
+ Ta xác định mp (P) và tìm giao tuyến của mp (P) với các mặt của hình chóp.
- Qua N kẻ NP // SC
⇒ (MNP) là mặt phẳng qua MN và song song với SC
Vậy P ≡ (MNP)
- Ta có: (P) ∩ (SCD) = NP
⇒ Thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là tứ giác MPNQ
- theo cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)
⇒ MPNQ là hình thang.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mặt phẳng (α) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD cắt ABCD theo thiết diện là
A. hình tam giác
B. hình vuông
C. hình thoi
D. hình chữ nhật
Chọn C
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có:
⇒ Thiết diện là hình bình hành MNPQ
Lại có: AB = CD suy ra MN = NP
Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ
Câu 8: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (α) qua M và song song AB; AC. Hỏi mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Hình thang.
+ Xét giao tuyến của mp (α) và mp (SAB) có:
Trong mp (SAB); gọi giao điểm của Mx và SB là P
Mà MP // AB và M là trung điểm SA nên P là trung điểm SB; MP = AB/2 (1)
+ Xét giao tuyến của mp (α) và mp (SAC) có:
Trong mp (SAC); gọi giao điểm của My và SC là N.
Mà MN // AC và M là trung điểm SA nên N là trung điểm SC; MN = (AC)/2 (2)
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (α) là tam giác MNP
+ Xét tam giác SBC có N và P lần lượt là trung điểm của SC; SB
⇒ NP là đường trung bình của tam giác SBC và NP = BC/2 (3)
Từ (1); (2); (3) kết hơp tam giác ABC là tam giác cân suy ra: MN = NP = PM
⇒ Tam giác MNP là tam giác đều
Chọn C