Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho 3 số a, b và c; điều kiện để ba số trên lập thành cấp số nhân là: b2 = ac
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho ba số x, 3x - 2 và 5x – 2. Tìm x để ba số trên theo thứ tự lập thành cấp số nhân?
Bài giải:
Điều kiện để ba số x, 3x - 2 và 5x - 2 lập thành cấp số nhân là:
Đán án đúng là: C.
Ví dụ 2: Cho dãy số
Bài giải:
Điều kiện: x ≥ 0
Để ba số đã cho lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 3: Cho dãy số
Bài giải:
Để ba số
=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D.
Ví dụ 4: Ba số x, y, z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Ba số x, y – 4, z theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Đồng thời các số x, y – 4, z – 9 theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Tính x. y. z?
Bài giải:
* Dựa vào tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân ta có hệ phương trình:
* Từ (1) và (2) ta có:
Thay y = 2 vào (3) được: x + z = 5.
* Ta có: x + z= 5 và x. z = y2 = 4 suy ra giá trị của x và z là nghiệm của phương trình:
Có 2 bộ (x, y, z) thỏa yêu cầu là (1,2,4) và (4,2,1).
Trong cả hai trường hợp tích của ba số là 8.
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 5: Các số x + 6y; 5x + 2y và 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Đồng thời các số x - 1, y + 2 và x + 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hỏi y là nghiệm của phương trình nào?
Bài giải:
* Do ba số x + 6y, 5x + 2y và 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
* Do ba số x - 1, y + 2 và x + 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:
* Thay (1) vào (2) ta được:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 6: Tìm a, b, c biết rằng: a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng và a, c, b là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, đồng thời a + b + c = 30. Tính a + b?
Bài giải:
* Theo đề bài ta có hệ phương trình sau:
Thay (1) vào (3) được: 3b = 30 ⇔ b = 10.
* Thay b = 10 vào (1) và (2):
Vậy a = 40; b = 10 và c = − 20 => a + b = 50
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 7: Cho hai số dương a và b sao cho a; a + 2b; 2a + b lập thành cấp số cộng và (b + 1)2; ab + 5; (a + 1)2 lập thành cấp số nhân. Tính a + b?
Bài giải:
* Do a; a + 2b và 2a + b lập thành cấp số cộng nên:
* Do (b + 1)2; ab + 5 và (a +1)2 lập thành cấp số nhân nên:
* Nếu a + b = 4. Lại có a = 3b nên ta có:
=> a = 3 (thỏa mãn). Khi đó; a + b = 4.
* Nếu 2ab + a + b = -6. Lại có a = 3b nên ta có:
Kết luận
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 8: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân và a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, đồng thời a, b - 1 và c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tính c – 13a?
Bài giải:
Do a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: ac = b2
Do a, b, c- 4 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, nên: a+ c- 4= 2b
Do a, b- 1, c- 5 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên: a (c - 5)= (b-1)2
Ta có hệ phương trình:
Thay (1) vào (3):
Thay vào (2) được: a + c – 4 = 5a + 1 ⇔ c = 4a + 5
Thay b và c theo a vào (1) được:
Với a = 1 => b = 3; c= 9 => c - 13a = -4
Với:
Đáp án đúng là: A.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Xác định x để 3 số 2 - x; x + 1 và x - 3 lập thành một cấp số nhân:
Đáp án: A
Ba số 2- x; x+ 1 và x- 3 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi:
=> Không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Câu 2: Tìm x để 3 số 2x + 6; x và 2x - 6 lập thành một cấp số nhân:
Đáp án: D
Ba số 2x +6; x và 2x- 6 theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi:
Câu 3: Các số x + 6y; 5x + 2y, 8x + y lập thành cấp số cộng và các số
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có hệ:
Giải (1) ⇔ 9x+ 7y = 10x + 4y
⇔ x = 3y thay vào (2) ta được:
Câu 4: Cho ba số x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x4 = y√ 3. Tìm x + y?
Đáp án: D
* Do ba số x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên:
* Thay vào x4 = y√ 3 ta được:
Tổng hai số cần tìm là: x + y = 4√ 3.
Câu 5: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36. Tính tích của số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3.
Đáp án: A
Gọi bốn số cần tìm là a, b, c và d (a, b, c, d ∈ N*) ta có hệ:
Giải phương trình (*):
Với b= 16 => c= 20; d= 25 và a= 12.
=> b. c= 16.20= 320.
Câu 6: Cho các số 5x - y; 2x + 3y; x + 2y lập thành cấp số cộng; các số (y + 1)2; xy + 1; (x - 1)2 lập thành cấp số nhân. Tính x; y
Đáp án: B
*Ta có các số 5x- y; 2x+ 3y; x+ 2y lập thành cấp số cộng nên suy ra:
2 (2x+ 3y) = 5x – y+ x+ 2y hay 2x= 5y (1)
*Các số (y+ 1)2; xy+ 1; (x-1)2 lập thành cấp số nhân suy ra:
Thay (1) vào (2) ta được:
Vậy có 3 cặp giá trị (x; y) thỏa mãn:
Câu 7: Tìm x; y biết các số x + 5y; 5x + 2y; 8x + y lập thành cấp số cộng và các số (y-1)2; xy – 1; (x + 1)2 lập thành cấp số nhân.
Đáp án: B
* Ta có x+ 5y; 5x + 2y; 8x+ y lập thành cấp số cộng nên ta có
( x+ 5y)+ (8x+ y) = 2 (5x+ 2y) ⇔ x= 2y.
* Do (y-1)2; xy – 1; (x+1)2 lập thành cấp số nhân nên ta có:
+ Trường hợp 1: Nếu -x + y=0. Kết hợp điều kiện: x = 2y
=> x = 0 và y = 0.
+ Trường hợp 2. Nêu 2xy – x+ y-2=0 (*). Thay x= 2y vào (*) ta được:
Vậy có 3 cặp giá trị của (x; y) thỏa mãn:
Câu 8: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2,3,9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ 3 tạo thành cấp số nhân. Tính tích 3 số đó.
Đáp án: A
Gọi u1; u2; u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Theo đề bài: u1 + 2; u2 + 3; u3 + 9 là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.
Ta có hệ phương trình:
Giải (*):
*Với u3 = 11 => u1 = 3.
Khi đó; tích ba số cần tìm là: 3.7.11= 231
* Với u3 = 04 => u1 = 18
Khi đó, tích ba số cần tìm là: - 4.7.18= -504.