Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Điều kiện để ba số a; b; c lập thành cấp số cộng là: c − b = b − a hay a + c= 2b.
+ Điều kiện để dãy số (un) là cấp số cộng là với ∀ n ∈ N* thì: un+1 − un là hằng số (không phụ thuộc vào n).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định x để 3 số: 1 − x; x2; 1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x.
B. x = ± 2.
C. x = ± 1.
D. x = 0
Bài giải:
Ba số: 1 − x; x2; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 2: Xác định n để ba số 2n - 9; n; n + 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
A. n = 2
B. n = 3
C. n= 4
D. n= 5
Bài giải:
Điều kiện để ba số: 2n – 9; n và n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng là:
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 3: Xác định x để 3 số: 1 + 2x; 2x2 − 1; − 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
Bài giải:
Ba số 1 + 2x; 2x2 − 1; − 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 4: Xác định a để 3 số 2 - a; 6 + a2; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của.
B. a= 4
C. a= ± 2
D. a= ± √ 5
Bài giải:
Ba số 2 - a; 6 + a2; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
6 + a2 − 2 + a = 3a + 2 - 6 - a2
⇔ 2a2 − 2a + 8 = 0 phương trình này vô nghiệm.
=> Không có giá trị nào của a thỏa mãn.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 250. Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o; 90o.
B. 75o; 80o.
C. 60o; 95o.
D. 60o; 90o.
Bài giải:
Gọi 3 góc của tam giác là u1 = 25; u2 = 25 + d và u3 = 25 + 2d.
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800 nên ta có:
Vậy hai góc còn lại của tam giác là 600 và 950
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc Acó số đo nhỏ nhất và bằng 30o. Tìm tổng của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác.
A. 180o
B. 150o.
C. 200o.
D. 210o.
Bài giải:
Do 4 góc của tứ giác lập thành cấp số cộng và nên các góc còn lại của tứ giác là:
u2 = 30 + d; u3 = 30 + 2d và u4 = 30 + 3d
Do tổng bốn góc của 1 tứ giác là 3600 nên:
Vậy các góc còn lại của tứ giác là: 700; 1100 và 1500
=> Góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác là 1500 và 300
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
A. 1,5,6,8
B. 2,4,6,8
C. 1,4,6,9
D. 1,4,7,8
Bài giải:
Giả sử 4 số hạng liên tiếp cần tìm là: a- 3d; a- d; a+ d; a+ 3d với công sai là d’= 2d. Khi đó, ta có:
+ Nếu d = 1 thì bốn số cần tìm là: 2; 4; 6; 8
+ Nếu d = − 1 thì bốn số cần tìm là: 8; 6; 4; 2
Đáp án đúng là: B.
Lưu ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai, là chẵn thì gọi công sai rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
Ví dụ 8: Biết 3 số: x2 + 1; x − 2 và 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi có mấy giá trị nguyên dương của x thỏa mãn?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Bài giải:
Ta có: x2 + 1; x − 2; 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:
Vậy có hai giá trị nguyên dương của x thỏa mãn đầu bài.
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 9: Xác định a; b để phương trình x3 + ax + b = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. b = 0; a < 0
B. b = 0; a = 1
C. b = 0; a > 0
D. b > 0; a < 0
Bài giải:
Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là x1; x2 và x3
* Do 3 số này lập thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2x2 (1)
* Áp dụng hệ thức vi- et cho phương trình bậc 3 ta có:
x1 + x2 + x3 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2x2 + x2 = 0 ⇔ x2 = 0
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 0. Thay x = 0 vào phương trình đã cho ta được: 03 + a. 0 + b = 0 ⇔ b = 0.
* Với b = 0 phương trình đã cho trở thành: x3 + ax = 0
Do đó, để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: a < 0.
Vậy điều kiện để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là:
b = 0 và a < 0.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 10: Tìm m để phương trình mx4 − 2 (m − 1)x2 + m − 1= 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Bài giải:
Đặt x2 = t (t ≥ 0) khi đó phương trình đã cho trở thành:
mt2 − 2 (m − 1)t + m − 1 = 0 (*)
Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2
Khi đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là − √ t2; − √ t1; √ t1; √ t2
Để 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:
Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình (*) ta có:
Thay t2 = 9t1 vào (1) ta được:
Thử lại: Thay vào phương trình đã cho ta thấy
Đáp án đúng là: B.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Với giá trị nào của x để ba số: 10 − 3x; 2x2 + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng?
Đáp án: C
Để ba số 10 − 3x; 2x2 + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi:
Câu 2: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và 3 cạnh lập thành cấp số cộng. Tính diện tích tam giác vuông đó theo a.
Đáp án: B
Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.
Chu vi của tam giác: x + y + z = 3a (1)
Tính chất của cấp số cộng có x + z = 2y (2)
Vì tam giác vuông nên có: x2 + y2 = z2 (3)
Thay (2) vào (1) được 3y = 3a ⇔ y = a thay y = a vào (2) được:
x + z = 2a ⇔ x = 2a − z
Thay x và y vào (3) được: (2a- z)2 + a2 = z2
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác cần tìm là:
=> Diện tích tam giác vuông này là:
Câu 3: Biết rằng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Hỏi số lớn nhất trong 3 số đó bằng bao nhiêu?
A. 14
B. 9
C. 11
D. 13
Đáp án: A
Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng u1 − d; u1; u1 + d. Theo đề bài ta có:
Giải phương trình (*):
+ Với d = 5=> Ba số hạng cần tìm là: 4; 9; 14.
+ Với d = − 5 => Ba số hang cần tìm là: 14; 9; 4
Câu 4: Biết rằng 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của của chúng là 384. Tìm số bé nhất trong bốn số đó.
A. 2
B. 5 − √ 241
C. − √ 241
D. Đáp án khác
Đáp án: D
Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u1 = u − 3d; u2 = u − d; u3 = u + d và u4 = u + 3d có công sai d' = 2d.
Theo đề bài ta có:
Đặt t = d2 (t ≥ 0); khi đó phương trình (*) trở thành:
* Với t = 1 => d2 = 1 ⇔ d = ± 1
Với d = 1 => u1 = 2; u2 =4; u3 = 6 và u4 = 8
Với d = − 1 => u1 = 8; u2 = 6; u3 =4 và u4 = 2
* Với:
Với
và u4 = 5 + √ 241
Với
và u1 = 5 + √ 241
Câu 5: Xác định m để phương trình x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. m = 16
B. m = 11
C. m = 13
D. m = 12
Đáp án: B
Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng.
=> x1 + x3 = 2x2
Theo hệ thức Viet cho phương trình bậc ba ta có:
=> 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1
Thay x= 1 vào phương trình đã cho ta được:
13 − 3.12 − 9.1 + m = 0 ⇔ m = 11
Với m = 11 ta có phương trình x3 − 3x2 − 9x + 11 = 0
Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.
Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.
Câu 6: Tìm m để phương trình x4 − 2 (m + 1).x2 + 2m + 1 = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. m = 16
B. m = 11
C. m = 13
D. m = 12
Đáp án: B
Đặt t = x2 (t ≥ 0).
Phương trình trở thành: t2 − 2 (m+1)t + 2m + 1 = 0 (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2
Với điều kiện trên phương trình (2) có bốn nghiệm là:
Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi:
Theo định lý viet thì
Thay t2 = 9t1 vào (*) ta được:
Vậy m = 4 hoặc
Câu 7: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
Đáp án: A
Ta có:
Do đó x + y = 4
Câu 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x3 − (3m + 1).x2 + 2mx = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đáp án: D
Ta có:
Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
● Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng nên ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:
+ 2m, 0,1 lập thành cấp số cộng
+ 0,2m, 1 lập thành cấp số cộng
+ 0,1,2m lập thành cấp số cộng
Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn là:
Câu 9: Tìm m để phương trình: x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phâ biệt và các nghiệm đố theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
A. m = 11
B. m = 12
C. m = -11
D. m = 18
Đáp án: A
* Điều kiện cần:
Ta có: x3 − 3x2 − 9x + m = 0 (*)
Gọi x1 < x2 < x3 là ba nghiệm của phương trình (*). Khi đó, ta sẽ phân tích được:
Đồng nhất hệ số của x2 ta được: x1 + x2 + x3 = 3 (1).
Do x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó nên x1 + x3 = 2x2 (2).
Thế (2) vào (1) ta được: 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1.
Thế x2 = 1 vào (*) được m = 11.
* Điều kiện đủ.
Thay m = 11 vào phương trình đã cho ta được:
Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.