Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Phương trình a. sinx + b = 0 hoặc a. cosx + b = 0 (với a ≠ 0) có nghiệm nếu:
- 1 ≤ sinx (hoặc cosx) ≤ 1.
+ Xét phương trình a. sin2 x + bsinx + c = 0 hoặc a. cos2 x + b. cosx + c = 0 (với a ≠ 0):
Đặt sinx = t (hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành: at2 + bt + c = 0 (*)
Để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm t0 thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t0 ≤ 1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx + cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. - 2 ≤ m ≤ 2
B. - 1 ≤ m ≤ 1
C. - 4 ≤ m ≤ 4
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: 2sinx + cos900 = m
⇒ 2sinx + 0 = m
⇒ sinx = m/2 (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1
⇒ Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
A. 2
B. 4
C. 3
D. 1
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có:
⇒ sinx - 2sinx = m
⇒ - sinx = m
⇒ sinx = - m
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1
⇒ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: - 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
⇒ m∈ {-1; 0; 1}
Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình:
sin2x - 2 (m - 1)sinxcos - (m - 1)cos2x = m có nghiệm?
A. 0≤ m≤ 1
B. m > 1
C. 0 < m < 1
D. m≤ 0
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn
Ta có: sin2 x - 2 (m - 1) sinx. cosx – (m – 1) cos2 x = m
⇒ 1 - cos2x - 2 (m - 1). sin2x - (m - 1). (1 + cos2x) = 2m
⇒ 1 - cos2x - 2 (m - 1)sin2x – m + 1 – (m - 1).cos2x – 2m = 0
⇒ -2 (m - 1) sin2x – mcos2x = 3m - 2
Để phương trình có nghiệm
Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2 (m+1).sinx – 3m (m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Đặt t = sinx.
Điều kiện.
Phương trình có dạng: t2 + 2 (m + 1).t – 3m (m - 2) = 0 (1).
Đặt f (t) = t2 + 2 (m + 1)t – 3m (m - 2).
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1; 1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1; 1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1; 1]
Ví dụ 5: Để phương trình:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
=> Phương trình (1) trở thành: 3t2+ 4at – 4= 0 (2).
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn.
Xét phương trình (2), ta có:
nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 1/4 ≤ m ≤ 1
B. 1/2 ≤ m ≤ 1
C. 1/2 ≤ m ≤ 2
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: cos6 x + sin6 x= m
⇒ (cos2 x+ sin2 x). (cos4 x – cos2x. sin2 x+ sin4 x) =m
⇒ 1. [ (cos2x+ sin2 x)2 – 3. cos2 x. sin2 x= m
Ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2x ≤ 1
=> Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm:
Ví dụ 7. Cho phương trình: 4 (sin4 x + cos4 x) - 8 (sin6 x + cos6 x) - 4sin2 4x = m, trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có:
+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.
(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1; 1].
Ví dụ 8. Cho phương trình cos (x - 300) + sin (x + 600) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 0 ≤ m ≤ 1
B. -1 ≤ m ≤ 2
C. - 1 ≤ m ≤ 1
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x - 300) - sin (x + 600) + sinx = m
⇒ cosx. cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx = m
⇒ sinx = m (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho phương trình: cosx. sinx – 2m – 2sinx + m. cosx = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. 0 ≤ m ≤ 1
B. -1 ≤ m ≤ 2
C. - 2 ≤ m ≤ 1
D. -1 ≤ m ≤ 1
Ta có: cosx. sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0
⇒ (cosx. sinx -2sinx) + (m. cosx – 2m) = 0
⇒ sinx (cosx- 2) + m (cosx- 2) = 0
⇒ (sinx + m). (cosx- 2) = 0
Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm
⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
Chọn D.
Câu 2: Cho phương trình cos2x + 4cosx + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. -7 ≤ m ≤ 1
B. -5 ≤ m ≤ 2
C. – 6 ≤ m ≤ 2
D. - 4 ≤ m ≤ 2
Ta có: cos2x + 4cosx + m=0
⇒ 2cos2 x – 1+ 4cosx+ m= 0
⇒ 2cos2 x+ 4cosx + 2 + m-3= 0
⇒ 2 (cosx+ 1)2 + m- 1= 0
⇒ 2 (cosx+1)2 = 1- m
⇒ (cosx+ 1)2 = (1-m)/2 (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx+1 ≤ 2
⇒ 0 ≤ (cosx+1)2 ≤ 4
Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
⇒ 0 ≤ (1-m)/2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1-m ≤ 8
⇒ - 7 ≤ m ≤ 1
Chọn A.
Câu 3: Cho phương trình cos (x + y) – cos (x - y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. -3 ≤ m ≤ 1
B. -2 ≤ m ≤ 2
C. – 3 ≤ m ≤ 1
D. - 4 ≤ m ≤ 2
Ta có: cos (x+ y) – cos (x- y) = m
⇔ cosx. cosy – sinx. siny – (cosx. cosy + sinx. sin y)= m
⇔ -2sinx. sin y = m (*)
Với mọi x; y ta có; - 1 ≤ sin〖x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1
⇒ - 1 ≤ sin〖x. siny ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ -2. sinx. siny ≤ 2
Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*)có nghiệm
⇔ - 2 ≤ m ≤ 2
Chọn B.
Câu 4: Cho phương trình sin6 x - cos6 x + cos2x = m. Biết rằng, khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a + b
A. – 2
B. -1
C. 0
D. 1
Ta có: sin6 x- cos6 x + cos2x= m
⇒ (sin2 x- cossin2 x). (sinsin4 x+ sin2 x. cos2 x+ cossin4x)+ cos2x = m
⇒ - cos2x. [ (sinsin2 x+ cossin2 x)sin2 – sinsin2 x. cossin2 x] + cos2x= m
Chon C.
Câu 5: Cho phương trình:
A.
B.
C.
D.
Điều kiện: cos2x #0
Ta có: sin6 x+ cos6 x= (sin2 x+ cos2x). (sin4 x- sin2x. cos2x + cos4 x)
= 1. [ (sin2 x+ cos2 x)2 – 3sin2 x. cos2 x] = 1- 3/4 sin2 2x
Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:
Chọn C
Câu 6: Cho phương trình cos (900- x)+ sin (1800- x) + sinx = 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm:
A. 3
B. 4
C. 2
D. 5
Ta có: cos (900- x) + sin (1800 – x) + sinx= 3m
⇒ sinx + sin x + sinx = 3m
⇒ 3sinx= 3m ⇒ sin x= m (*)
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm
⇒ - 1 ≤ m ≤ 1
⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm.
Chọn A.
Câu 7: Cho phương trình: sin2 x + (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.
A. m > 2
B. m < 1
C. 1 < m < 10
D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Ta có; sin2 x+ (m-1)sinx – m= 0
⇒ sin2 x – sinx + m. sinx- m= 0
⇒ sinx (sinx -1) + m. (sinx -1) = 0
⇒ (sinx – 1). (sinx+ m)= 0
Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π
⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm
⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm
Chọn D.
Câu 8: Cho phương trình sin2x + 2sin2 x + 4cos2 x = m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. -3√ 2 ≤ m ≤ 3√ 2
B. 3- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+3
C. 2- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+2
D. -2√ 2 ≤ m ≤ 2√ 2
Ta có: sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x= m
⇒ sin2x + 2 (sin2 x+ cos2 x) + 2cos2 x = m
⇒ sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m
⇒ sin2x + cos2x + 3 = m
⇒ sin2x+ cos2x = m – 3
⇒ √ 2 sin (2x+ π/4)=m-3
Với mọi x ta luôn có - 1 ≤ sin (2x+ π/4) ≤ 1
⇒ - √ 2 ≤ √ 2 sin (2x+ π/4) ≤ √ 2
⇒ - √ 2 ≤ m-3 ≤ √ 2
⇒ 3- √ 2 ≤ m ≤ √ 2+3
Chọn B.
Câu 9: Để phương trình:
A. -1 ≤ m < -1/4
B. -2 ≤ m ≤ -1
C. 0 ≤ m ≤ 2
D. (- 1)/4 ≤ m ≤ 0
Chọn A.
Câu 10: Để phương trình:
A. - 1 ≤ a ≤ 0.
B. - 2 ≤ a ≤ 2.
C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.
D. - 2 ≤ m ≤ 0
Chọn B.