Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

a. sin² x+ b. sinx. cosx + c. cos² x= 0 (1)

Trong đó a; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0

+ Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

* Cách 1:

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình.

Lưu ý: cosx = 0 ⇒ sin² x = 1

Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos²x. Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. tan² x+ b. tanx+ c= 0

Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx

⇒ x=....

Lưu ý:

* Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:

a. sin² x+ b. sinx. cosx+ c. cos² x= 0

⇒ b. sin2x+ (c-a) cos2x = - a- c

Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm

Bài giải:

Đáp án đúng là: D.

Hướng dẫn:

+ Trường hợp 1.

Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 2: Phương trình: có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn:

Trường hợp 1.

- Nếu cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được:

6.1 + 0 – 0 = 6 (luôn đúng)

⇒ Phương trình có nghiệm x = π/2 + kπ

Trường hợp 2.

- Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos² x ta được

Ví dụ 3. Cho phương trình 2sin² x – 5sinx. cosx +3cos² x= 0. Tìm một họ nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn:

Trường hợp 1:

- Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

Trường hợp 2:

- Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

2tan² x – 5tanx + 3= 0

Ví dụ 4. Giải phương trình: 4sin² x+4sinx. cosx+ cos²x= 0.

A.

B. x= arctan⁡ (-2)+kπ

C.

D. x= arctan⁡2+kπ

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

- Trường hợp 1.

Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

- Trường hợp 2:

Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos² x ta được:

4tan² x + 4tanx + 1 = 0

⇒ (2tanx + 1)² = 0

⇒ 2tanx + 1 = 0

⇒ tan x = (-1)/2

⇒ x = arctan⁡ (- 1)/2 + kπ

Ví dụ 5. Phương trình:

có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ Trường hợp 2: Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos² ta được:

Ví dụ 6: Giải phương trình - 3sin²x – 2sinx. cosx + 4cos² x= - 3

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

- Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

- Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho os² x ta được:

- 3tan² x - 2tanx + 4= (- 3)/ (cos² x)

⇒ - 3tan² x – 2tanx + 4 = - 3 (1 + tan² x)

⇒ - 2tanx = -7

⇒ tanx = 7/2

⇒ x = arctan 7/2 + kπ

Ví dụ 7: Phương trình 2sin² x + sinx. cosx – cos² x = 0 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

- Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x = 1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

- Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

2tan² x+ tanx – 1 = 0

Ví dụ 8: Một họ nghiệm của phương trình: 2sin²x - 5sinx. cosx – cos² x = - 2 là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

- Trường hợp 1: Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

- Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos² x ta được:

2 tan²x – 5 tanx - 1 = (- 2)/ (cos² x)

⇒ 2tan² x – 5tanx – 1 = - 2 (1 + tan²x)

⇒ 2tan²x – 5tanx - 1 = - 2 – 2tan² x

⇒ 4tan² x – 5tanx + 1 = 0

Ví dụ 9. Cho phương trình: 2sin² x - 4sinx. cosx + 4 cos²x = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 1 < m hoặc m < - 1

B. m > √ 3 hoặc m < - √ 5

C. 2- √ 5 ≤ m ≤ 2+ √ 5

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

2sin² x - 4sinx. cosx + 4cos² x = m

⇒ (1 - cos2x) - 2sin2x + 2cos2x + 1 = m

⇒ cos2x – 2sin2x = m - 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là: 1² + (-2)² ≥ (m-2)²

⇒ 5 ≥ m² - 4m+ 4 ⇒ m² – 4m - 1 ≤ 0

⇒ 2- √ 5 ≤ m ≤ 2+ √ 5

Ví dụ 10: Giải phương trình 4sin³ x + 3cos³x - 3sinx – sin²x. cosx = 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

- Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

- Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos³ x ta được:

⇒ 4. tan³ x+ 3- 3tanx. (1+ tan² x) – tan²x = 0

⇒ 4. tan³ x + 3- 3tanx – 3tan³x – tan² x = 0

⇒ tan³ x – tan² x - 3tanx + 3= 0

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos³x = sin3x

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: C.

Hướng dẫn:

Ta có: 2cos³x = sin³x

⇒ 2cos³ x = 3sinx - 4sin³x

Ta thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Chia cả hai vế phương trình cho cos³ x ta được:

⇒ 2 = 3. tanx (1 + tan² x) – 4tan³ x

⇒ 2 = 3tanx + 3tan³x – 4tan³x

⇒ tan³x – 3tanx + 2 = 0

Ví dụ 12: Giải phương trình:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Bài giải:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình 4sin²x + 5sinx. cosx – 9cos² x = 0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cos x = 0 ⇒ sin² x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế cho cos² x ta được:

4tan² x + 5tanx – 9=0

Chọn A.

Câu 2: Giải phương trình – sin² x – 2sin2x - 4cos² x = 0

A. x = arctan (-3) + kπ

B. x = arctan 3 + kπ

C. x = arctan 2 + kπ

D. x = arctan (-2) + kπ

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thây không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Ta có: - sin² x – 2sin2x – 4cos² x = 0

⇒ -sin² x – 4sinx. cosx – 4cos² x= 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

- tan² x – 4tanx – 4= 0

⇒ - (tanx + 2)² = 0

⇒ tanx +2= 0 ⇒ tanx = - 2

⇒ x = arctan (-2)+ kπ

Chọn D

Câu 3: Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

Chọn C.

Câu 4: Một họ nghiệm của phương trình: sin² x – 3sinx. cosx = 2 là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin²x= 1 thay vào phương trình đã cho thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế phương trình cho cos² x ta được:

tan² x – 3tanx = 2/ (cos² x)

⇒ tan² x -3tanx= 2 (1+tan² x)

⇒ tan² x – 3tanx = 2+ 2 tan² x

⇒ - tan² x – 3tanx – 2 = 0

Chọn C.

Câu 5: Giải phương trình 3sin² x – 4sinx. cosx + 5cos² x = 2.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ trường hợp 1. Nếu cosx=0 ⇒ sin²x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế của phương trình cho cos² x ta được:

3tan² x – 4tan x+ 5= 2/ (cos² x)

⇒ 3. tan² x – 4tanx + 5= 2 (1+ tan² x)

⇒ tan² x - 4tanx + 3= 0

Chọn A

Câu 6: Phương trình: có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Trương hợp 1.

Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.

Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos²x ta được:

Chọn B.

Câu 7: Phương trình: có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cos2x = 0 ⇒ sin² 2x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cos2x ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos² 2x ta được:

Chọn D

Câu 8:Phương trình: có một họ nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin² x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

⇒ x= π/2+kπ là nghiệm của phương trình đã cho

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0

Chọn D.

Câu 9: Giải phương trình sin²x + 3tanx = cosx. ( 4sinx – cosx)

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0

Ta có: sin² x+ 3tanx =cosx. (4sinx-cosx)

⇒ sin² x+ 3tanx= 4sinx. cosx- cos²x

Chia cả hai vế cho cos² x ta được:

⇒ tan² x+ 3tanx (1+ tan² x)- 4tanx + 1= 0

⇒ tan² x + 3tanx + 3tan³ x – 4tanx + 1 = 0

⇒ 3tan³ x + tan² x – tanx +1= 0

⇒ tanx= - 1

⇒ x= (- π)/4+kπ

Chọn A.

Câu 10: Giải phương trình: sin² x. ( tanx+ 1) = 3sinx. (cosx – sinx) + 3

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0.

Ta có: sin² x. (tanx+ 1) = 3sinx. ( cosx- sinx) + 3

⇒ sin² x. (tanx+ 1) = 3sinx. cosx – 3sin² x+ 3

⇒ sin² x. (tanx+ 1) = 3sinx. cosx + 3cos² x (vì 3-3sin² x= 3cos² x)

Chia cả hai vế phương trình cho cos² x ≠ 0 ta được:

tan²x. ( tanx+ 1) = 3tanx + 3

⇒ tan² x. ( tanx+ 1) – (3tanx+ 3)= 0

⇒ tan² x. (tanx +1)- 3 (tanx+ 1) = 0

⇒ (tan² x- 3)( tanx+ 1) = 0

Chọn B.

Bài trước: Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11