Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để đưa một phương trình về phương trình lượng giác cơ bản; ta cần sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: cos2 (x- 300) - sin2 (x- 300) = sin (x+ 300)
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Ví dụ 2. Giải phương trình cos (600+ x) + cos (600-x)= 1.
A. x = 300+ k. 1800
B. x= 600 + k. 1800
C. x =900 +k. 3600
D. x= k. 3600
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (600 + x) + cos (600 - x) = 1
⇒ 2cos 600. cosx = 1
⇒ cosx = 1
⇒ x = k. 3600
Ví dụ 3. Giải phương trình: sin2x = 1/2
A. x = π + k2π
B. x = π/4 + k π/2
C. x = π/2 + kπ
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: sin2 x = 1/2
⇒ (1 - cos2x)/2 = 1/2
⇒ cos2x = 0
⇒ 2x = π/2 + kπ
⇒ x = π/4 + k π/2
Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2 x - sin2 x. cos2 x = 1
A. x = π/4 + kπ
B. x = π/2 + kπ
C. x = π/2 + k2π
D. x = kπ
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: sin2 x – sin2 x. cos2 x = 1
⇔ sin2 x (1 - cos2 x) = 1
⇔ sin2 x. sin2x = 1
⇔ sin4 x = 1
⇔ sin2 x = 1
⇔ cosx = 0
⇔ x = π/2 + kπ
Ví dụ 5. Giải phương trình cos (x + 300) - √ 3/2. cosx = 1/2
A. x = π/2 + k2π
B. x = 3π/2 + kπ
C. x = π/2 + kπ
D. x = kπ
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x + 300) - √ 3/2. cosx = 1/2
⇔ cosx. cos300- sinx. sin300- √ 3/2. cosx = 1/2
⇔ cosx. √ 3/2-sinx. 1/2 - √ 3/2. cosx = 1/2
⇔ -sinx. 1/2 = 1/2
⇔ sinx =- 1
⇔ x = 3π/2 + k2π
Ví dụ 6. Giải phương trình:
A. x = (- π)/6 + k. π
B. x = (- π)/12 + k. π
C. x = (π)/12 + k. π
D. Đáp án khác
Bài giải:
⇔ tan (x + π/4) = tan π/6
⇔ x + π/4 = π/6 + kπ
⇔ x = (- π)/12 + k. π
Ví dụ 7. Giải phương trình: cos (x + 300). cos (x - 300) = 1/2
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x + 300) + cos (x - 300) = 1/2
⇔ 1/2 [cos 2x + cos600) = 1/2
⇔ cos2x + cos 600 = 1
⇔ cos2x + 1/2 = 1
⇔ cos2x = 1/ (2) = cos600
Ví dụ 8. Giải phương trình sin2x - cos2x = sinx
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có; sin2x- cos2x= sin x
- cos 2x= cos (900- x)
cos (1800- 2x) = cos (900 - x)
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình tanx. tan3x = 1
A. x = π/2 + kπ
B. x = π/4 + kπ/2
C. x = π/3 + kπ
D. x = π/4 + kπ
Ta có: tanx. tan 3x= 1
⇔ tanx=1/tan3x
⇔ tanx= cot 3x
⇔ tanx= tan (π/2-3x)
⇔ x= π/2-3x+k2π
⇔ 4x= π/2+k2π
⇔ x= π/8+kπ/2
Chọn B.
Câu 2:Giải phương trình: (sinx+ cosx)2 =2
A. x= π/3+kπ
B. x= π/4+kπ
C. x= π/4+k2π
D. x= π/8+kπ
Ta có; (sinx+ cosx)2 = 2
⇒ sin2 x+ cos2x+ 2sinx. cosx= 2
⇒ 1+ sin2x= 2 ⇒ sin2x= 1
⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ
Chọn C.
Câu 3:Giải phương trình: sin4x- cos4x = 1
A. x= π/2+kπ
B. x= π/2+k2π
C. x= π/4+k2π
D. x= π/4+kπ
Ta có: sin2x- cos2x=1
⇒ (sin2x- cos2x). (sin2x+ cos2x) = 1
⇒ -cos2x. 1= 1 ⇒ cos2x= -1
⇒ 2x= π+k2π ⇒ x= π/2+kπ
Chọn A.
Câu 4:Giải phương trình: 4cos2 x+ cos2x + 1= 0
A. x= π/2+k2π
B. x= π/4+kπ
C. x= π/2+kπ
D. Đáp án khác
Ta có: 4cos2 x + cos2x + 1 = 0
⇔ 4. (1+cos2x)/2 + cos2x + 1 = 0
⇔ 2 (1+ cos2x) + cos2x + 1 = 0
⇔ 3cos2x + 3= 0 ⇔ 3cos 2x= - 3
⇔ cos2x= - 1
⇔ 2x= π+k2π ⇔ x= π/2+kπ
Chọn C.
Câu 5:Giải phương trình: 2. tanx. cosx + 2cosx= 0
A. x= π/2+kπ
B. x= -π/4+kπ
C. Cả A và B đúng
D. Tất cả sai
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+ kπ
Ta có: 2tanx. cosx + 2cosx = 0
⇒ cosx. (2tanx + 2) = 0
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: x= -π/4+kπ
Chọn B.
Câu 6:Đâu không phải là một họ nghiệm của phương trình: sin2x –sinx + 2cosx – cos2x – sin2x= 0?
A. x= π/3+k2π
B. x=- π/3+k2π
C. x= 3π/2+k2π
D. x= π/6+k2π
Ta có: sin2x –sinx + 2cosx – cos2x – sin2x= 0
⇒ (sin2x + 2cosx) –sinx - (cos2 x+ sin2x) = 0
⇒ (2sinx. cosx + 2cosx) – sinx – 1=0
⇒ 2cosx. ( sin x+1) – (sinx+1)= 0
⇒ (2cosx – 1). (sinx+ 1) = 0
Chọn D.
Câu 7:Giải phương trình: 2sin2x+ 4cos2x= 3?
A. x= π/4+ kπ
B. x= π/4+ kπ/2
C. x= π/2+kπ
D. x= π/4+ kπ/4
Áp dụng công thức hạ bậc ta có:
2sin2x+ 4cos2x= 3
⇔ 1- cos2x + 2. ( 1+ cos2x) = 3
⇔ 1- cos 2x +2+ 2cos2x = 3
⇔ cos2 x = 0
⇔ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2
Chọn B.
Câu 8:Giải phương trình:
A. x= π/4+kπ
B. x= π/4+k2π
C. x= π/2+kπ
D. x= -π/4+kπ
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ.
Khi đó ta có:
Chọn A.
Câu 9:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:
A. x= π/3
B. x= π/8
C. x= π/6
D. Đáp án khác
Điều kiện:
⇔ 4cotx = 4
cot x= 1
⇔ x= π/4+kπ (thỏa mãn điều kiện).
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/4 (khi k = 0)
Chọn D.