Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx + b. cosx = c

Trong đó: a, b và c là các hằng số.

+ Cách giải phương trình:

• Cách 1:

• Cách 2:

* Lưu ý:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình :

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Ví dụ 2. Phương trình: có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: B.

Hướng dẫn:

Ví dụ 3. Phương trình: có các họ nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Đáp án đúng là: A.

Hướng dẫn:

Ví dụ 4. Phương trình: có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Ví dụ 5. Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Ví dụ 6. Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Bài giải:

Ví dụ 7: Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

Ví dụ 8. Phương trình:

có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Bài giải:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Phương trình: có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 2: Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 3: Giải phương trình

A.

B.

C. Vô nghiệm

D.

Hiển thị lời giải

⇒ 2cos2x+ 2sin2x= 2

⇒ cos2x + sin2x= 1

⇒ (cos2x+ sin2x)² = 1

⇒ cos²2x + 2. cos2x. sin2x + sin² 2x= 1

⇒ (cos² 2x+ sin² 2x) + 2. cos2x. sin2x= 1

⇒ 1+ sin4x= 1 ⇒ sin4x= 0 (loại do không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 4: Giải phương trình: sinx. tanx- 2cosx -2sinx + cosx. tanx =0

A.

B.

C.

D. Tất cả đều sai

Hiển thị lời giải

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: sinx. tanx – 2cosx – 2sinx + cosx. tanx= 0

⇒ (sinx. tanx+ cosx. tanx) - 2 (cosx+ sinx) = 0

⇒ tanx (sinx+ cosx) – 2 (cosx+ sinx) = 0

⇒ (tanx- 2). (sinx+ cosx) = 0

+ Nếu tanx= 2 thì x=arctan⁡2+kπ

+ Nếu sinx+ cosx = 0 ⇒ sinx= - cosx

⇒ tanx = - 1 ⇒ x= (- π)/4+kπ

Kết hợp điều kiện; suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

Chọn C.

Câu 5: Giải phương trình:

A.

B

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Câu 6:Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 7: Giải phương trình: sin2x + 2cos²x + sinx - 3cosx – 2 = 0?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Ta có: sin2x + 2cos² x+ sinx – 3cosx - 2= 0

⇒ (sin2x+ sinx) + (2cos²s + cosx) – (4cosx+2) =0

⇒ (2sinx. cosx+ sinx) + cosx. (2cosx+1) – 2 (2cosx+ 1)= 0

⇒ sinx. (2cosx+ 1) + cosx. (2cosx+1) – 2 (2cosx+ 1)= 0

⇒ (2cosx+1). (sinx+ cosx – 2)= 0

Câu 8: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: - 2sinx -2cosx= 2cos²x – 1?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Ta có: - 2sinx- 2cosx = 2cos² x- 1

⇒ - 2 (sinx- cosx) – (2cos² x- 1) = 0

⇒ - 2 (sinx –cosx) – cos2x= 0

⇒ - 2 (sinx- cosx) – (cosx- sinx). (cosx+ sinx) =0 (vì cos2x= cos² x- sin²x)

⇒ (sinx – cosx). (-2- cosx- sinx) = 0

Bài trước: Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11