Phương trình lượng giác không mẫu mực - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực ta cần sử dụng:
• Các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tích thành tổng; tổng thành tích...
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ...
• Đánh giá: a2 ≥ 0; vế trái ≤ a; vế phải ≥ a. Từ đó; suy ra: Vế trái = vế phải= a.
• Đánh giá: Vế trái > a; vế phải < 0 nên phương trình vô nghiệm.....
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Cả A và C đúng
Bài giải:
Ví dụ 2. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Ví dụ 3. Giải phương trình:
A.
B.
C. x = kπ
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: sin4x- cos4x = 1+ 4√ 2 sin (x- π/4)
⇒ sin 4x – (1+ cos4x) = 4 (sinx – cosx)
⇒ 2. sin2x. cos2 x- 2cos22x = 4 (sinx- cosx)
⇒ 2cos 2x. ( sin2x – cos 2x) – 4 (sinx- cosx)= 0
⇒ 2 (cos2 x- sin2 x). (sin2x- cos2x) – 4. (sinx- cosx) = 0
⇒ 2. ( cosx- sinx). (cosx+ sinx). (sin2x- cos2x) + 4 (cosx + sinx) = 0
⇒ 2. ( cosx – sinx). [(cosx+ sinx) (sin2x- cos2x) + 2] = 0
Ví dụ 4. Giải phương trình sin3x. ( cosx - 2sin3x) + cos 3x. (1+ sinx - 2cos 3x) = 0
A. π/8 + kπ/2
B. k2π/3
C. kπ/4
D. Vô nghiệm
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Hướng dẫn
Ta có:
sin3x. ( cosx - 2sin3x) + cos 3x. (1 + sinx - 2cos 3x) = 0
⇒ sin3x. cosx – 2sin23x + cos 3x + cos3x. sinx – 2cos23x = 0
⇒ (sin3x. cosx + cos3x. sinx) – 2 (sin2 3x + cos2 3x) + cos3x = 0
⇒ sin4x –2 + cos3x = 0
⇒ sin4x + cos3x = 2 (*)
Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin4x ≤ 1 và-1 ≤ cos3x ≤ 1
⇒ - 2 ≤ sin4x + cos3x ≤ 2
⇒ Không có giá trị nào của x thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 5. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
Bài giải:
Ví dụ 6. Giải phương trình sin20x + cos20 x = 1
A. x = kπ
B. x = kπ/2
C. x = π/2 + kπ
D. x = kπ/4
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: sin20 x + cos20 x = 1
⇒ sin20 x + cos20 x = sin2 x + cos2 x
⇒ sin20 x - sin2 x = cos2 x - cos20 x
⇒ sin2 x (sin18 x – 1) = cos2 x (1 - cos18 x)
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2 x ≤ 1
⇒ sin18x - 1 < 0
⇒ vế trái ≤ 0 (1)
+ Tương tự có: 1 - cos18x ≥ 0
⇒ Vế phải ≥ 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Vế trái = Vế phải = 0
Vậy nghiệm phương trình đã cho là x= kπ/2
Ví dụ 7. Giải phương trình:
A. x = π/4 + kπ
B. kπ
C. Vô nghiệm
D. Cả A và B đúng
Bài giải:
Ví dụ 8. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Phương trình vô nghiệm
Bài giải:
Ví dụ 9. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Ví dụ 10. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Ví dụ 11. Cho phương trình:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Bài giải:
=> phương trình đã cho trở thành:
22017. (sin2018x + cos2018x). (sinx + cosx). cosx = cosx (sinx + cosx)
⇒ 22017. (sin2018x + cos2018x). (sinx + cosx). cosx - cosx (sinx + cosx) = 0
⇒ cosx. ( cosx+ sinx). [22017. (sin2018x + cos2018x) - 1] = 0
Ví dụ 12. Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn
+ Điều kiện: sinx ≠ 0
Ví dụ 13. Giải phương trình: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) =0
A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) = 0
⇒ sin3x. cosx – 2sin23x + cos3x + cos3x. sinx – 2cos23x=0
⇒ (sin3x. cosx + cos3x. sinx) - 2 (sin23x + cos23x) +cos3x = 0
⇒ sin4x - 2+ cos3x= 0
⇒ sin4x + cos3x = 2 (1)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Chọn C.
Câu 2:Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 3: Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Chọn C.
Câu 4: Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Chọn C.
Câu 5: Giải phương trình:
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 6: Giải phương trình:
A.
B.
C.
D. Vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Chọn D.
Câu 6:Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
+ Ta thấy khi sinx=0 ⇒ x= kπ không phải là nghiệm của phương trình.
+ Nhân hai vế của phương trình (*) với sinx ≠ 0 ta được:
⇒ 2sinx. cosx+ 2sinx. cos2x+ 2sinx. cos3x + 2sinx. cos4x + 2sinx. cos5x + sinx=0
⇒ sin2x – sinx + sin3x- sin2x + sin4x- sin3x + sin5x- sin4x+ sin6x + sinx= 0
⇒ sin 5x+ sin 6x = 0
⇒ sin5x= - sin6x= sin (π-6x)
Chọn A.
Câu 7: Giải phương trình: 4sin3x. cos2x =1+ 6sinx – 8sin3 x
A.
B.
C.
D.
Chọn C.
Câu 8:Giải phương trình: cosx. cos2x. cos4x. cos 8x= 1/16 (*)
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
+ Ta thấy khi sinx=0 hay x=kπ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
+ Nhân hai vế của phương trình (*) với sin x ≠ 0 ta được:
Chọn D.
Câu 9:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2 có dạng πa/b với a; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= a. b
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Ta có: cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2
⇒ 4. cos3x. cos2x+ 2cos3x= 1
⇒ 2. ( cos5x+ cosx) + 2cos3x= 1
⇒ 2cos5x+ 2cosx+ 2cos3x=1
+ Nhận thấy sinx=0 hay x=kπ không thỏa mãn phương trình trên.
+ Nhân hai vế cho sinx ≠ 0 ta được:
2. sinx. cos5x+ 2. cosx. sinx + 2cos3x. sinx= sinx
⇒ sin6x + sin (-4x) + sin2x + sin 4x + sin (- 2x) = sinx
⇒ sin6x - sin 4x + sin2x+sin4x – sin2x- sinx=0
⇒ sin6x- sinx=0 ⇒ sin6x= sinx
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là π/7 ⇒ a= 1 và b= 7
⇒ S= a. b= 1.7= 7
Chọn B.
Câu 10: Cho phương trình sin2018x + cos2018x = 2 (sin2020x+ cos2020x). Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
Ta có: sin2018x+ cos2018 x= 2 (sin2020x+ cos2020x)
⇒ (sin2018 x- 2sin2020 x) + (cos2018 x- 2cos2020 x) = 0
⇒ sin2018 x. (1 – 2sin2 x) + cos2018x. ( 1- 2cos2 x) = 0
⇒ sin2018 x. cos2x – cos2018x. cos2x= 0
⇒ cos2x. ( sin2018 x- cos2018x)= 0
Chọn B.
Câu 11: Nghiệm dương lớn nhất của phương trình tan2018 x+ cot2018x = 2. sin2017(x+ π/4) có dạng πa/b với a; b là các số nguyên a > 0 và a; b nguyên tố cùng nhau. Tính S= a. b
A. 4
B. 3
C. 6
D. 8
⇒ nghiệm dương lớn nhất là x= π/4
⇒ a= 1 và b= 4 nên S=a. b = 4
Chọn A.
Câu 12: Giải phương trình:
A. x = kπ/4
B. x = kπ/2
C. kπ
D. kπ/3
+ Ta có: 4cos22x + sin22x = (cos2 2x + sin22x) +3cos22x
= 1+ 3cos22x > 0 với mọi x.
⇒ Phương trình luôn xác định với mọi giá trị của x.
⇒ sin10x + cos10x = 1
⇒ sin10 x+ cos10 x= sin2 x+ cos2 x
⇒ (sin10 x- sin2 x)+ (cos10x – cos2 x) = 0
⇒ sin2 x (sin8x -1) + cos2 x (cos8 x- 1) = 0 (*)
Với mọi ta có: - 1 ≤ sinx; cosx ≤ 1
⇒ sin8 x- 1 < 0 và cos8 x – 1 < 0 nên từ (*) suy ra:
Chọn B.
Câu 13: Cho phương trình: 4cos2x+ tan2 x+ 4= 2. (2cosx – tanx). Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)?
A. 10
B. 16
C. 22
D. Vô nghiệm
Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ
Ta có: 4cos2 x+ tan2 x+ 4= 2. ( 2cosx- tanx)
⇒ 4cos2 x – 4cosx + 1+ tan2x + 2tanx + 1+ 2= 0
⇒ (2cosx-1)2 + (tanx+ 1)2 + 2= 0
Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có: (2cosx -1)2 ≥ 0 và (tanx+ 1)2 ≥ 0
⇒ (2cosx-1)2 + (tanx+ 1)2 + 2 > 0
⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.
Chọn D.