Phương trình lượng giác đưa về dạng tích - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng...
+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A. B = 0
Giải từng phương trình A = 0; B= 0
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình 1+ cosx + cos2 x + cos3x – sin2 x = 0
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Hướng dẫn:
Ta có: 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0
⇒ (1- sin2 x)+ cos2 x+ (cosx+ cos3x)=0
⇒ cos2 x+ cos2 x + 2. cos 2x. cos x= 0
⇒ 2cos2 x + 2cos2x. cosx=0
⇒ 2cosx. (cosx + cos2x) = 0
Ví dụ 2: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là:
A. x = k2π
B. x = π/2+kπ
C. x = kπ
D. x = π/2 + k2π
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: sin 3x - 4sinx. cos2x = 0
⇒ sin3x - 2 [sin3x + sin (-x)] = 0
⇒ sin3x - 2sin3x + 2sinx = 0 (vì sin (-x) = - sinx)
⇒ 2sinx = -sin3x
⇒ 2sinx = 4sin3 x - 3sinx
⇒ 2sinx – 4sin3 x + 3sinx= 0
⇒ 5sinx – 4sin3 x = 0
⇒ sinx (5- 4sin2 x) = 0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = kπ
Ví dụ 3. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) (1 + sinx) = cos2 x
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: (- sinx + cosx). (1 + sinx) = cos2x
⇒ (- sinx + cosx). (1 + sinx) - cos2 x = 0
⇒ (-sinx + cosx). (1 + sinx) – (1 - sin2 x) = 0
⇒ (- sinx + cosx). (1 + sinx) – (1- sinx). (1 + sinx) = 0
⇒ (1 + sinx). (- sinx + cosx – 1 + sinx) = 0
⇒ (1 + sinx). (cosx- 1) = 0
Ví dụ 4. Giải phương trình: 2 + sin2x – 2cos2 x = 0
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Hướng dẫn:
Ta có: 2 + sin2x – 2cos2 x = 0
⇒ sin 2x + (2 - 2cos2 x) = 0
⇒ 2sinx. cosx + 2sin2 x = 0
⇒ 2sinx (cosx + sinx) = 0
Ví dụ 5: Giải phương trình: cos2 4x + sin22x = 1
A.
B.
C. Cả A và B đúng
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cos2 4x + sin2 2x= 1
⇒ cos24x + sin2 2x- 1=0
⇒ cos2 4x- cos2 2 x=0
⇒ (cos 4x- cos2x). (cos4x+ cos2x) = 0
Ví dụ 6: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x = 1 có các nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn:
Ta có: 4cosx - 2cos2x – cos4x = 1
⇒ 4cosx – 2cos 2x – (2cos22x – 1) – 1 = 0
⇒ 4cosx – 2cos2x - 2cos2 2x = 0
⇒ 4cos x - 2cos2x (1 + cos2x) = 0
⇒ 4cosx - 2cos2x. 2cos2 x = 0
⇒ 4cosx. (1 – cos 2x. cosx) = 0
⇒ 4cosx. [ 1- (2cos2 x - 1). cos x] = 0
⇒ 4cos x. [1- 2cos3 x + cosx] = 0
Ví dụ 7: Phương trình cosx - 1 + 2sinx – sin2x = 0 có nghiệm là:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cosx - 1 + 2sinx – sin2x = 0
⇒ (cosx - sin2x) + (2sinx - 1) = 0
⇒ (cosx – 2. sinx. cosx) + (2sinx - 1) = 0
⇒ cosx (1 - 2sinx) – (1 - 2sinx) = 0
⇒ (cosx - 1). (1 - 2sinx) = 0
Ví dụ 8: Giải phương trình: sin3x – 1 = 2sinx. cos2x – cos2x
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: sin3x- 1= 2sinx. cos2x- cos2x
⇒ sin 3x- 1= sin3x + sin (-x) – cos2 x
⇒ sin 3x- 1 = sin3x – sin x – cos 2x
⇒ (sin3x- sin3x) + (cos2x – 1) + sinx = 0
⇒ - 2sin2x + sin x = 0
⇒ sinx (- 2sinx + 1) = 0
Ví dụ 9. Giải phương trình: cot2x + 3tan 3x = 2tan2x
A. x = π/4 + kπ
B. x = kπ
C. x = π/2 + kπ
D. Vô nghiệm
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta có; cot2x + 3tan3 x = 2tan2x
⇒ (cot2x + tan 3x) + (2tan3x - 2tan2x) = 0
⇒ cosx. cos2x + 2sinx. sin2x = 0
⇒ (cosx. cos2x + sinx. sin2x) + sinx. sin2x = 0
⇒ cosx + sinx. 2sinx. cosx = 0
⇒ cosx. (1 + 2sin2 x) = 0
⇒ cosx = 0 (vì 1 + 2sin2 x > 0 với mọi x)
⇒ x = π/2 + kπ
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 10. Giải phương trình: 4cos5x. sinx – 4sin5 x. cosx = cos22x
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Hướng dẫn:
Ta có: 4cos5x. sinx – 4sin5 x. cosx = cos22x
⇒ 4cosx. sinx. ( cos4 x- sin4 x) = cos2 2x
⇒ 4. cosx. sinx. ( cos2 x –sin2 x). (cos2 x+ sin2 x) – cos2 2x = 0
⇒ 2sin2x. cos2x. 1 – cos2 2x= 0
⇒ cos2x (2sin2x – cos2x) = 0
Ví dụ 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos4x – cos2x + 2sin6 x = 0
A. x = π/2
B. x = π
C. x = π/3
D. x = π/4
Bài giải:
Đáp án đúng là: B
Hướng dẫn:
Ta có: cos4x – cos2x + 2sin6 x = 0
⇒ (1- sin2 x)2 – (1- 2sin2 x) + 2sin6 x = 0
⇒ 1 – 2sin2 x + sin4 x – 1 + 2sin2x + 2sin6 x = 0
⇒ sin4 x + 2sin6 x = 0
⇒ sin4 x. ( 1 + 2sin2 x) = 0
⇒ sin4 x = 0 (vì 1 + 2sin2 x > 0 với mọi x)
⇒ sinx = 0 ⇒ x = kπ
⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = π (khi đó k = 1)
Ví dụ 12. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1
A. x= π/3
B. x= π/4
C. x= π/6
D. x= π/2
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Ta có: cos2x + cos22x + cos23x = 1
⇒ 1+cos2x+ 1+ cos4x+ 1+ cos 6x= 2
⇒ (cos 2x+ cos 6x)+ cos4x + 1 = 0
⇒ 2cos4x. cos2x + 2cos2 2x= 0
⇒ 2cos 2x. ( cos 4x+ cos2x)= 0
⇒ 2cos2x. 2. cos3x. cosx = 0
⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = π/6
Ví dụ 13. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình:
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ví dụ 14. Giải phương trình: sin22x + sin2 4x = cos2 2x + cos2 4x
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: sin22x + sin2 4x = cos2 2x + cos2 4x
⇒ (sin2 2x – cos22x) + (sin24x – cos24x) = 0
⇒ - cos4x – cos8x = 0
⇒ cos4x + cos 8x = 0
⇒ 2. cos 6x. cos2x= 0
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos2 x
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 2: Giải phương trình: cos3 x - sin3 x = 1 - 2sin2 x
A.
B.
C.
D.
Do 1- 2sin2 x= sin2 x+ cos2 x- 2sin2 x= cos2 x- sin2 x
Nên: cos2 x – sin2 x = 1- 2sin2 x
⇒ (cosx – sinx). (cos2 x + cosx. sinx + sin2 x) = cos2 x- sin2 x
⇒ (cosx- sinx). (1+ cosx. sinx) – (cos2 x –sin2 x)= 0
⇒ (cosx- sinx). (1 + cosx. sinx) - (cosx- sinx). (cosx+ sinx) = 0
⇒ (cosx- sinx). (1 + cosx. sinx – cosx- sinx) = 0
⇒ (cosx- sinx). [(1- cosx) - (- cosx. sinx + sinx) = 0
⇒ (cosx- sinx). [( 1- cosx) - sinx (1- cosx)]= 0
⇒ (cosx- sinx). (1- cosx) (1- sinx) = 0
Chọn A.
Câu 3: Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx = 0
A.
B.
C.
D.
Điều kiện: cosx ≠ 0
Chọn B
Câu 4: Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1.
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Điều kiện: sinx ≠ 0
Ta có: 2sin2x – 2sinx = cot x- 1
⇒ 2sin2x -2sinx – cotx + 1 = 0
+ Nếu 2cosx. sinx + cosx- sinx = 0 hay sinx- cosx – 2sinx. cosx=0 (*)
Chọn A.
Câu 5: Giải phương trình sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x.
A.
B.
C.
D.
Ta có: sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x.
⇒ (sin3 x – 2sin5x) + (cos3 x – 2cos5 x) = 0
⇒ sin3 x (1- 2sin2 x) + cos3 x. ( 1- 2cos2 x) = 0
⇒ sin3 x. cos2x + cos3 x. (-cos2x) = 0
⇒ cos 2x. ( sin3 x – cos3x) = 0
⇒ cos2x. (sinx- cosx). (sin2 x+ sinx. cosx + cos2x) =0
⇒ cos 2x. (sinx- cosx). (1+ sinx. cosx) = 0
Chọn B.
Câu 6: Giải phương trình: tanx + tan 2x = - sin3x. cos2x
A. x = kπ/6
B. x = kπ/4
C. x = kπ/3
D. Cả A và B đúng
Chọn C.
Câu 7:Giải phương trình
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 7: Phương trình 2√ 2. sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√ 2 sin3x. cos 5x có nghiệm là:
A. x= kπ/2
B. x= kπ
C.
D.
Chọn A.
Câu 8: Giải phương trình cosx – sinx = sin2x - 2cos2 x:
A.
B.
C.
D.
Ta có: cosx- sinx= sin2x -2cos2x
⇒ cosx – sinx - (sin2x – 2cos2 x) = 0
⇒ (cosx- sinx) - (2. sinx. cosx – 2cos2 x) = 0
⇒ (cosx – sinx) – 2cosx (sinx – cosx) = 0
⇒ (cosx- sinx). (1- 2cosx) = 0
Chọn C.
Câu 9:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin22x + sin23x=2 là.
A.
B.
C.
D.
Chọn A.
Câu 10: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình:
A.
B.
C.
D.
Chọn B.
Câu 10:Phương trình
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình đã cho có ba họ nghiệm
Chọn B
Câu 11:Phương trình:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Chọn D
Câu 12: Giải phương trình: sin23x + cos26x = sin2 5x +cos2 4x
A.
B.
C.
D.
⇒ 1- cos 6x+ 1+ cos12x= 1- cos10x + 1+ cos 8x
⇒ - cos 6x+ cos12x = - cos10x + cos 8x
⇒ (cos12x + cos10x) – (cos8x+ cos6x)= 0
⇒ 2. cos 11x. cosx – 2cos7x. cos x= 0
⇒ 2cosx. ( cos11x- cos7x)=0
Chọn A.
Câu 12: Giải phương trình:
A.
B.
C. I
D. Đáp án khác
+ Ta có: cosx+ cos2x + cos3x = (cosx+cos 3x) + cos2x
= 2cos 2x. cosx + cos2x = cos2x. (2cosx + 1)
Câu 13: Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin2 x – cos2 x + 2sinx= 0
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Ta có: sin2x+ cosx + 1+ 3sin2 x –cos2 x+2sinx=0
⇒ (sin2x + 2sinx) + (cosx+ 1) + (3sin2 x – cos2x) = 0
⇒ (2sinx. cosx+ 2sinx) + (cosx+1) + (3sin2 x + sin2 x- 1) = 0
⇒ 2sinx. ( cosx+ 1) + (cosx+ 1) + (4sin2 x -1) = 0
⇒ (2sinx+ 1). (cosx+1) + (2sinx- 1). (2sinx+1) = 0
⇒ (2sinx +1). (cosx+ 1 +2sinx -1) = 0
⇒ (2sinx+1). (cosx+ 2sinx) = 0
Chọn C.
Câu 14: Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √ 3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
Chọn B.
Câu 15:Giải phương trình
A.
B.
C.
D. Cả A và B đều đúng
Chọn C.