Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa (P) và (Q) ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên (P) sao cho khoảng cách từ A đến (Q) có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d ((P); (Q)) = d (A; (Q)).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’).
Bài giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.
⇒ MN // AC (1)
+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP // AA’ // DD'
Lại có: CC’ // AA’ nên MP // CC’ (2)
Từ (1) và (2) => ( MNP) // (ACC’)
+ Gọi O là giao điểm của A’C’ và B’D’. Do ABCD. A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O ⊥ (AA'C'C) và d (D’; (ACC’)) = D’O.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
+ Vì ∆ ABC đều và AA’ = BA’ = CA’ (giả thiết) nên A’. ABC là hình chóp đều.
Gọi A’H là chiều cao của lăng trụ => H là trọng tâm ∆ ABC.
Lăng trụ ABC. A’B’C’ có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên ∠ A'AH = 60°.
+ Xét ∆ AHA’ có: A'H = AH. tan60° = ((a√ 3)/3).√ 3 = a
+ Lại có: (ABC) // (A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên d ((ABC), (A’B’C’)) = d (A’, (ABC)) = A’H = a
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A’H ⊥ (ABC). Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên ∠ A'AH = 60°
+ Xét ∆ A’HA vuông tại H ta có: A’H = AA’. sin60° = (a√ 3)/2.
+ Do (ABC) // (A’B’C’) (định nghĩa hình lăng trụ) nên:
d ((ABC); (A’B’C’)) = d (A’; (ABC)) = A’H = (a√ 3)/2
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC. AB’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
Bài giải:
+ Do hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB’ = AC’.
⇒ Tam giác AB’C’ là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến (do AH ⊥ (A'B'C').
⇒ HB’ = HC’ và A’H = AC. sin60° = (a√ 3)/2
+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH ⊥ (A’B’C’) nên ∠ AA'H = 30°
Xét ∆ AA’H vuông tại H có: AH = A’H. tan (AA'H) = (a√ 3)/2. tan30° = a/2
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D, cạnh a. Khoảng cách giữa (AB’C) và (A’DC’) bằng:
Bài giải:
+ Xét hai mặt phẳng (AB’C) và (A’DC’) có:
+ Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’. Gọi I là hình chiếu của D’ trên O’D => I là hình chiếu của D’ trên (A’DC’)
Ta có: B’D’ = a√ 2 và O’D’ = (1/2)B'D' = (a√ 2)/2
+ Xét ∆ O’D’D vuông tại D’ có:
Vậy d ((AB’C); (A’DC’)) = (a√ 3)/3
Đáp án đúng là: D
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)
Nhận xét (ACC') ≡ (ACC'A')
Gọi O = AC ∩ BD, I = MN ∩ BD
+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC (1)
+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và A’D’ nên MP là đường trung bình của hình thang A’D’DA
⇒ MP // AA’ // PP’ (2).
Từ (1) và (2) suy ra: (MNP) // (ACC’)
Mà O thuộc mp (ACC’) nên d ((MNP); (ACC’)) = d (O; (ACC’))
+ Ta có: OI ⊥ AC và OI ⊥ AA’ (vì AA’ ⊥ (ABCD) và OI ⊂ (ABCD))
⇒ OI ⊥ (ACC’A’) nên d (O; (ACC’)) = OI
=>
Chọn đáp án B
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB’D’) và (BDA’) bằng
+ Ta có: BD // B’D’ và A’D // B’C
⇒ (A'BD) // (B'CD') nên ta có:
d ((A’BD); (CB’D’)) = d (B’; (A’BD)) = d (A; (A’BD))
+ Vì AB = AD = AA’ = a và A'B = A'D = BD = a√ 2
⇒ Hình chóp A. A’BD là hình chóp tam giác đều.
+ Gọi I là trung điểm A’B và G là trọng tâm tam giác A’BD.
⇒ AG ⊥ (A’BD)
Khi đó ta có: d (A; (A’BD)) = AG
+ Vì tam giác A’BD đều cạnh a√ 2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông AGD có:
Chọn B
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa (ACB’) và (DA’C’) bằng:
+ Ta có: AC // A’C’ và B’C // A’D
=> (ACB') // (DA'C')
Lại có: D ∈ mp (DA'C') nên d ((ACB'), (DA'C')) = d (D, (ACB')) = d (B, (ACB'))
+ Vì BA = BB’ = BC = a và nên hình chóp B. ACB’ là hình chóp tam giác đều
+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB’.
⇒ BG ⊥ (ACB’)
Khi đó ta có: d (B, (ACB')) = BG
+ Vì tam giác ACB’ đều cạnh a√ 2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông BGB’ có:
Chọn C
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng (ACD’) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
+ Gọi O là hình chiếu của D lên AC.
+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:
Chọn đáp án B
Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√ 3. Khoảng cách từ (MDJ) đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
Đáp án đúng là: C
+ Ta có: MJ // SB (vì MJ là đường trung bình của tam giác SAB). Và MD // BP
⇒ (DMJ) // (SBP)
⇒ d ((DMJ); (SBP)) = d (H, (SBP)).
+ Ta chứng minh: NC ⊥ MD