Giải phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx = m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:
Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx = m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx = m thì phương trình này có nghiệm là:
x = α + kπ
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là:
x = α + kπ
+ Các trường hợp đặc biệt:
• Sinx = 0 ⇔ x = kπ
• Sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π
• Sinx = -1 ⇔ x = (-π)/2 + k2π
• cos = 0 ⇔ x = π/2 + kπ
• cosx = 1 ⇔ x = k2π
• cosx =- 1 ⇔ x = π + k2π
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hỏi x = 7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2sinx - √ 3=0.
B. 2sinx+ √ 3=0.
C. 2cosx- √ 3=0
D. 2cosx+ √ 3=0.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A
Hướng dẫn:
Cách 1:
Với x = 7π/3, suy ra
Cách 2: Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin (2x/3 - π/3) = 0.
A. x=kπ (k∈Z)
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: sin (2x/3 - π/3) = 0.
⇔ 2x/3 - π/3 = kπ (k∈Z)
⇔ 2x/3 = π/3 + kπ
⇔ x = π/2 + k3π/2 (k∈Z).
Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx
Ví dụ 4. Giải phương trình cot (3x-1)= -√ 3
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có: cot (3x - 1) = -√ 3
⇒ cot (3x - 1) = cot (-π/6).
⇔ 3x - 1 = (-π)/6 + kπ
⇔ x = 1/3 - π/ (18) + k. π/3 = 1/3 + 5π/ (18) + (k - 1). π/3
Đặt k - 1 = l => Nghiệm phương trình là: x = 1/3+ 5π/ (18)+l. π/3
Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?
A. sinx = √ 2/2
B. sinx = √ 2/2
C. cotx = 1
D. cot2x = 1
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ta có: tanx = 1 ⇒ x = π/4 + kπ (k∈Z).
Xét đáp án C, ta có:
cotx = 1 ⇒ x = π/4 + kπ (k∈Z).
Cách 2:
Ta có đẳng thức tanx = 1/cotx. Kết hợp giả thiết tanx = 1, ta được cotx = 1.
Vậy hai phương trình tanx = 1 và cotx = 1 là tương đương.
Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: cosx = m + 1 có nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Bài giải:
Đáp án đúng là: C.
Hướng dẫn:
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx = a.
+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.
+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.
Do đó, phương trình cosx = m + 1 có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: cos (2x - π/3) - m = 2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
A. T = 6
B. T = 3
C. T = - 3
D. T = - 6
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Phương trình:
cos (2x - π/3) - m = 2
⇔ cos (2x- π/3)= m+2.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ m + 2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.
Mà m nguyên nên m∈ {-3; -2; -1}
Suy ra: T= - 3+ (-2)+ (-1)= - 6
Ví dụ 8. Giải phương trình: tan (π/3 + x) = tan π/4
A. -π/12 + kπ
B. π/12 + kπ
C. -π/3 + kπ
D. -π/4 + kπ
Bài giải:
Đáp án đúng là: D.
Hướng dẫn:
Ta có: tan (π/3 + x) = tan π/4
⇔ π/3 + x = π/4 + kπ (k∈Z)
⇔ x = π/4 - π/3 + kπ = (-π)/12 + kπ
Ví dụ 9. Giải phương trình: cos ((x + π)/4) = 1/2
A. x = π/3 + 4kπ hoặc x = (- π)/3 + k4π)
B. x = π/12 + 4kπ hoặc x = (- π)/12 + k4π)
C. x = π/3 + 4kπ hoặc x = (- 7π)/3 + k4π)
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đáp án đúng là: C
Hướng dẫn:
Ta có: cos ((x + π)/4) = 1/2 hay cos ((x + π)/4) = cos π/3
Ví dụ 10. Giải phương trình: sinx = 2/5
A. x = α + k2π hoặc x = - α + k2π
B. x = α + k2π hoặc x = π + α + k2π
C. x = α + kπ hoặc x = π - α + kπ
D. x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π
Với sinα = 2/5
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hướng dẫn:
Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5
Khi đó sinx = 2/5
⇔ sinx = sinα nên x = α + k2π hoặc x = π - α + k2π
Ví dụ 11. Giải phương trình tanx = 2
A. 2+ kπ
B. arctan 2+ kπ
C. 2+ k2π
D. arctan 2+ k 2π
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: tanx = 2 ⇒ x = arctan2 + kπ (k∈Z)
Ví dụ 12. Giải phương trình: cot (π/3 + x) = cot (π + x)/2
A. π/3 + k4π
B. π/3 + k2π
C. π/3 + kπ
D. π/6 + kπ
Bài giải:
Đáp án đúng là: B.
Hướng dẫn:
Ta có: cot (π/3 + x) = cot (π + x)/2
⇒ π/3 + x = (π + x)/2 + kπ với k∈Z
⇒ x - x/2 = π/2 - π/3 + kπ
⇒ x/2 = π/6 + kπ x = π/3 + k2π
Ví dụ 13. Giải phương trình cos (400 + x) = cos (800 – x)
A. x= 200 + k. 1800
B. x= 200 + k. 3600
C. x= - 400+ k. 1800
D. Cả A và C đúng
Bài giải:
Đáp án đúng là: A.
Hướng dẫn
Ta có: cos (400+ x) = cos (800 – x)
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos (x + 100) = 1/3
A.
B.
C.
D.
Bài giải:
Đáp án đúng: C.
Hướng dẫn:
Ta có: cos (x+100) = 1/3
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Giải phương trình cos (π/3 - x) = 0
A. - π/2 + l2π
B. - π/3 + l2π
C. π/6 + l2π
D. - π/6 + l2π
Ta có: cos (π/3-x)=0
⇒ cos (π/3-x) = cos π/2
⇒ π/3-x= π/2 + k2π
⇒ -x= π/2- π/3+k2π
⇒ - x= π/6+k2π ⇒ x= - π/6- k2π
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x= - π/6 + l2π (với l= - k và nguyên)
Chọn D.
Câu 2: Phương trình: sin (2x/3 - π/3) = 0 có nghiệm là:
A.
B. x=kπ.
C.
D.
Chọn D.
sin (2x/3- π/3)=0 ⇒ 2x/3- π/3=kπ
⇒ 2x/3 = π/3+ kπ ⇒ x= π/2+k3π/2
Câu 3: Nghiệm của phương trình: sinx. (2cosx-√ 3)=0 là:
A.
B.
C.
D.
Chọn A
D.
Câu 4:Cho phương trình sin (x - 100) = 2m + 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ta có: phương trình sin (x-100)= 2m+1 có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ 2m+1 ≤ 1
⇒ -2 ≤ 2m ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0
⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m= -1 hoặc m = 0
Chọn B.
Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3
A.
B.
C.
D.
Chọn C.
Ta có: sinx=-1/3
D.
Câu 6: Giải phương trình cot x = 3
A. arccot 3 + k. π (k∈Z)
B. arctan 3 + k. π (k∈Z)
C. arccot 3 + k. 2π (k∈Z)
D. - arccot 3 + k. π (k∈Z)
Ta có: cotx = 3
⇒ x= arccot 3 + k. π (k∈Z)
Chọn A.
Câu 7: Giải phương trình cos (x+ π)/3= (- 1)/2
A.
B.
C.
D.
Chọn B
Câu 8: Giải phưởng trình sinx=sin (2x- π/3)
A.
B.
C.
D.
Chọn D.
Câu 9:
Câu 10:Giải phương trình tanx = (- √ 3)/3
A. - π/6+kπ
B. π/6+kπ
C. - π/3+kπ
D. π/3+k2π
Ta có: tanx= (- √ 3)/3
⇒ tanx= tan (- π)/6
⇒ x= - π/6+kπ
Chọn A.
Câu 11:Giải phương trình cot (x - π/2) = cot ((π/4 - x)
A. 3π/8 + kπ
B. 3π/8 + kπ/2
C. 3π/4 + kπ/2
D. 3π/4 + kπ
Ta có: cot (x- π/2)=cot ((π/4-x))
⇒ x- π/2= π/4-x+kπ
⇒ 2x= 3π/4+kπ ⇒ x= 3π/8+kπ/2
Chọn B.
Câu 12: Giải phương trình tanx = cot (x + π/3)
A. π/12 + kπ
B. π/6 + kπ/2
C. π/12 - kπ/2
D. π/3 + kπ
Lời giải
Ta có: tanx= cot (x+ π/3)
⇒ cot (π/2-x) = cot (x+ π/3)
⇒ π/2- x = x+ π/3+kπ
⇒ - 2x= (-π)/6+kπ
⇒ x= π/12- kπ/2
Chọn C.
Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx
A. π/4 + k2π
B. π/4 + kπ
C. π/2 + kπ
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: sinx = cosx
⇒ sinx= sin (π/2-x)
Chọn B.
Câu 14: Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:
A.
B.
C.
.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: sin3x= cosx