Đạo hàm và các bài toán giải phương trình, bất phương trình - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình.
+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x3 – 6x2+ 2000. Phương trình y'= 0 có mấy nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Bài giải:
+ Ta có đạo hàm: y' = 6x2 - 12x
+ Cho y' = 0 < => 6x2 - 12x = 0
Vậy phương trình y’ = 0 có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 2.Cho hàm số y = x3 - 4x2 + 5x - 9. Với giá trị nào của x thì y'> 0?
Bài giải:
Ví dụ 3.Cho hàm số y = x4 + 2x3 – k. x2 + x - 10. Tìm k để phương trình y' = 1 có một nghiệm là x = 1?
A. k = 5 B. k = -5 C. k = 2 D. k = - 3
Bài giải:
+ Ta có đạo hàm: y' = 4x3 + 6x2 - 2kx + 1.
+ Để y’ = 1 thì 4x3 + 6x2 - 2kx + 1 = 1
⇔ 4x3 + 6x2 – 2kx = 0. (*)
Do phương trình y’ = 1 có một nghiệm là x = 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x = 1. => 4.13 + 6.12 – 2. k. 1 = 0
⇔ 10 - 2k = 0
⇔ k = 5.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = 4x + √x - 10. Nghiệm của phương trình y' = 0 là:
A. x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm
Bài giải:
⇒ Phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = (2x - 1)/ (x + 1). Với những giá trị nào của x thì y’ > 0
A. R. B. x> 0 C. R\ {-1} D. -1
Bài giải:
Ví dụ 6. Cho hàm số y = (2x - 2)/ (x - 3). Giải phương trình y' = -4.
A. x = - 2 B. x = 4 hoặc x = 2 C. x = 2 D x = - 3
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3.
Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là:
Ví dụ 7. Cho hàm số y = (x3 + x2)/ (x - 1). Phương trình y' = 0 có mấy nghiệm nguyên?
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Bài giải:
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1. Khi đó, đạo hàm của hàm số là:
Ví dụ 8.Cho hàm số y = 2mx – mx3. Với những giá trị nào của m để x = -1 là nghiệm của bất phương trình y'< 1?
A. m > - 1 B. m < 1 C. m= 1 D. m < - 1
Bài giải:
Ta có đạo hàm: y’ = 2m - 3mx2
Bất phương trình y' < 1 khi 2m - 3mx2 < 1
Do x = -1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 2m - 3m. (-1)2 < 1
⇔ - m < 1 hay m > - 1.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 9. Cho hàm số y = 2 (m-1)x3- 6 (m+ 2)x2+ 2. Tìm m để y' ≥ 0; ∀ x∈R?
A. m < - 2 B. m> 2 C. m > -2 D. m= -2
Bài giải:
+ Hàm số xác định với ∀x∈R.
+ Đạo hàm của hàm số: y' = 6 (m - 1) x2 - 12 (m + 2).x
+ Để y' ≥ 0; ∀ x∈R:
< => 6 (m - 1) x2 - 12 (m + 2).x ≥ 0 đúng ∀ x∈R (*)
+ Với m = 1 thì (*) trở thành: -36 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 (loại)
+ Với m≠1 thì để (*) đúng với mọi x thì:
Ví dụ 10. Tìm m để các hàm số y = mx3 - 3mx2 + (9m - 3) x + 3 có y' ≤ 0; ∀x∈R.
A. m< 1 B. m< 0 C. m ≤ 0 D. m > 0
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định với ∀x.
Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx2 – 6mx + 9m - 3
Để y' ≤ 0; ∀x∈R thì 3mx2 – 6mx + 9m - 3 ≤ 0; ∀x∈R (*)
+ Nếu m = 0 thì (*) trở thành: - 3≤ 0 (luôn đúng với mọi x)
⇒ m = 0 thỏa mãn.
+ Nếu m≠0 thì để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:
Ví dụ 11. Cho hàm số y = (kx - 1)/ (x - 1). Xác định các giá trị của k để y'< 0; ∀ x≠1
A. k < - 1 B. k> 1 C. k< - 2 D. k > 3
Bài giải:
Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1.
Với ∀x≠1 hàm số có đạo hàm là:
Ví dụ 12. Cho hàm số y = √ (2x2 + 4). Với những giá trị nào của x thì y' = 0?
A. x= 0 B. x= 1 C. x= 2 D. Không có giá trị nào thỏa mãn
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định với ∀ x.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = x3 – x2 + 2000x + 8. Phương trình y' = 0 có mấy nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Ta có đạo hàm: y'=3x2-2x+2000
+ Để y'=0 thì 3x2-2x+2000= 0 (*)
Phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình y’= 0 vô nghiệm.
Chọn A.
Câu 2: Cho hàm số y= 2x3-4x2+2x-9. Với giá trị nào của x thì y'< 0?
A. x< 1 B. x< 1/3 C. x > 1 hoặc x< 1/3 D. 1/3< x < 1
+ Ta có đạo hàm y'=6x2-8x+2
+ Để y'< 0 thì 6x2-8x+2 < 0 ⇔ 1/3< x< 1
Vậy để y’> 0 thì 1/3 < x < 1
Chọn D.
Câu 3: Cho hàm số y = x4 - 3x3 + 2k. x2 + 4x - 6. Tìm k để phương trình y'=1 có một nghiệm là x = 1?
A. k= 1/2 B. k= 2/3 C. k= 2 D. k= - 3
+ Ta có đạo hàm: y'= 4x3 - 9x2 + 4kx+ 4.
+ Để y’= 1 thì 4x3- 9x2 + 4kx+ 4 = 1
⇔ 4x3 - 9x2 + 4kx + 3 = 0. (*)
Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 - 9.12+ 4. k. 1 + 3= 0 ⇔ 4k - 2 = 0
⇔ k= 1/2.
Chọn A.
Câu 4: Cho hàm số y = x2 - 32√x + 8. Nghiệm của phương trình y' = 0 là
A. x = 1 B. x = 4 C. x = 9 D. Vô nghiệm
Với mọi x> 0; hàm số đã cho có đạo hàm đạo hàm: y'=2x- 16/√x.
Để y'=0 thì 2x- 16/√x = 0 ⇒ 2x√x-16=0
⇔ x√x=8 ⇔ √x= 2 nên x= 4.
Chọn B.
Câu 5: Cho hàm số y = (x + 2)/ (x - 3). Với những giá trị nào của x thì y’ > 0
A. R. B. x > 0 C. R\ {3} D. Không có giá trị nào
Câu 6: Cho hàm số y = (3x + 1)/ (2x + 2). Giải phương trình y' = 4.
Hàm số đã cho xác định với mọi x≠-1.
Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠-1 là:
Câu 7: Cho hàm số y = (2 x2 - 2x)/ (x + 1). Phương trình y' = 0 có nghiệm là?
A. x = -1 hoặc x = 0 B. x = 0 C. x = 1 hoặc x = -1 D. x = 2 hoặc x = - 1
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠-1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:
Câu 8: Cho hàm số y = x3 – mx2 + 3x + 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y'< 3?
A. m > 6 B. m > 9 C. m < - 6 D. m < 9
Ta có đạo hàm: y’= 3x2 – 2mx + 3
Bất phương trình y’ < 3 khi 3x2-2mx+3 < 3 ⇔ 3x2 – 2mx < 0
Do x= 6 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 3.62 – 2. m. 6 < 0
⇔ 108- 12m < 0 hay m > 9.
Chọn B.
Câu 9: Cho hàm số y = (m+1)x3- 3 (2m- 1)x2+ x tìm m để y' ≤ 0; ∀ x∈R?
A. m < - 2 B. m> 2 C. m > -2 D. Không có giá trị nào
+ Hàm số xác định với mọi x ∈ R.
+ Đạo hàm của hàm số: y'=3 (m+1) x2-6 (2m-1).x +1
+ Để y' ≤ 0; ∀ x∈R khi và chỉ khi:
3 (m+1) x2-6 (2m-1).x+1 ≤ 0 đúng mọi x ∈ R (*)
+ Với m= -1 thì (*)trở thành: 18 x+ 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ (- 1)/18 (loại)
+ Với m≠-1 thì để (*) đúng với mọi x thì:
Câu 10: Tìm m để các hàm số y = mx3- (m- 2)x2 + (m+ 1) x+ 7 có y' ≤ 0; ∀x∈R.
A. m< 4 B. m> - 2 C. m ≤ 4 D. m ≤ -4
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Đạo hàm của hàm số là: y' = 3mx2 – 2 (m-2)x + m+ 1
Để y' ≤ 0; ∀x∈R thì 3mx2 – 2 (m-2)x + m+ 1 ≤ 0; ∀x∈R (*)
+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: 4x + 1 ≤ 0 nên x ≤ (- 1)/4
⇒ m= 0 không thỏa mãn.
+ Để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:
Câu 11: Cho hàm số y = (2x+k)/ (4x-1). Xác định các giá trị của k để y'< 0; ∀ x≠1/4
Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1/4.
Với mọi x≠1/4 hàm số có đạo hàm là:
Câu 12: Cho hàm số y = √ (x2+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’ < 0?
A. x< -2 B. x> 4 C. x< 1 D. x> 2
+ Ta có: x2+4x + 19= (x+2)2 + 15 > 0 với mọi x nên hàm số đã cho luôn xác định và có đạo hàm với mọi x.