Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác - Chuyên đề Toán 11

Đạo hàm và bài toán giải phương trình, bất phương trình lượng giác - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình.

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình; bất phương trình lượng giác đã được học.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho f (x) = sin 2x. Giải phương trình f' (x)=0?


Bài giải:

+ Ta có đạo hàm: f' (x) = 2cos2x

+ Để f' (x) = 0

⇔ 2. cos2x = 0 hay cos2x = 0


Ví dụ 2. Cho hàm số: y = tan⁡ (x + π/3). Giải bất phương trình y’ > 0.

A. x ≠ π/6 + kπ

B. x ≠ π/6 + k2π

C. x ≠ π/3 + kπ

D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Điều kiện: x + π/3 ≠ π/2 + kπ hay x ≠ π/6 + kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:


Ví dụ 3. Cho hàm số: y = sinx + cosx. Tìm nghiệm của phương trình y' = 0


Bài giải:


Ví du 4. Cho hàm số: y = tanx + cot x. Giải phương trình y' = 0


Bài giải:


Ví du 5. Cho hàm số: y = 2 cos⁡ (2x - π/3). Giải phương trình y' = 4


Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho:


Ví dụ 6 Cho hàm số y = x + sin 2x. Giải phương trình y' = 0


Bài giải:

Đạo hàm của hàm số là: y' = 1 + 2cos2x


Ví dụ 7.Cho hàm số y = 3x + 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y' > 0


Bài giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y' = 3 + 2sin2x

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin⁡2x ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ 2sin2x ≤ 2

⇔ ≤ 3 + 2sin2x ≤ 5

⇒ Với mọi x ta luôn có: y'> 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y' ≥ 0


Bài giải:

Ta có đạo hàm: y' = 3x2 + 3 + 3sin2x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin2 x. cosx ≥ - 3. sin2 x

⇒ 3 + 3sin2x. cosx ≥ 3 - 3. sin2 x

⇔ 3 + 3sin2x. cosx ≥ 3. cos2x (1)

Lại có: 3x2 ≥ 0 ∀ x (2)

Từ (1) và (2) vế cộng vế ta có:

y' = 3x2 + 3 + 3sin2x. cosx ≥ 3x2 + 3cos2 x ≥ 0 với mọi x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥ 0

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y = cos (2π/3 + 2x). Khi đó phương trình y' = 0 có nghiệm là:


Bài giải:


Ví dụ 10. Cho hàm số y = cot2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y' = 0 là:

Bài giải:


Ví dụ 11.Cho hàm số: y = 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y' = 0


Bài giải:

Ta có: y' = -6 sin⁡3x - 6cos2x

Để y' = 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x = 0

⇔ sin3x + cos2x = 0

⇔ sin3x = - cos2x


C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho f (x) = sin (π/2 - 3x). Giải phương trình f' (x) = 0?



Câu 2: Cho hàm số y = tan⁡ (2x + 2π/3). Giải bất phương trình y’ > 0



Câu 3: Cho hàm số: y = 2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0



Câu 4: Cho hàm số: y = 2tan3x + 3cot 2x + 90. Giải phương trình y' = 0



Câu 5: Cho hàm số: y= (- 1)/2 cos⁡ (4x - π/6). Giải phương trình y' = 1


Đạo hàm của hàm số đã cho:


Câu 6: Cho hàm số y = 2x + 1 + cos2x. Giải phương trình y' = 2

A. x = π/3 + kπ

B. x = π/6 + kπ

C. x = kπ/2

D. x = kπ

Đạo hàm của hàm số là: y'=2-2sin2x

Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2

⇔ sin2x= 0 ⇔ 2x= kπ ⇔ x= kπ/2

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y = x3 + 3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤ 0


Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x

Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3

⇒ 3+ 3cos3x ≥ 0 (1)

Mà 3x2 ≥ 0 với mọi x. ( 2)

Từ (1) và (2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥ 0

⇒ Để y'≤ 0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0


Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤ 0 là x= 0

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥ 0


Điều kiện: x ≥ 0

Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:


Câu 9: Cho hàm số: y = cos (2x - π/3). sin (2x - π/4). Giải phương trình y’ = 2


Đạo hàm của hàm số đã cho là;


Câu 10: Cho hàm số y = tan (x3 + 3x2+ 3x + 9). Giải phương trình y' = 0?

A. x = 0 B. x = 2 C. x = -1 D. Đáp án khác

+ Điều kiện cos⁡ (x3+3x2+3x+9)≠0

+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm:


+ Với x= -1 ta có: cos⁡ (x3+3x2+3x+9)=cos⁡8≠0 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1