Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Đạo hàm của hàm hợp - Chuyên đề Toán 11

Đạo hàm của hàm hợp - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Định lí: Nếu hàm số u = g (x) có đạo hàm tại x là u'xvà hàm số y = f (u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y = f (g (x)) có đạo hàm tại x là:

y'x = y'u.u'x

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số: y = (5x + 2)10.

A. 10 (5x + 2)9

B. 50 (5x + 2)9

C. 5 (5x + 2)9

D. (5x + 2)9

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 10. (5x + 2)9. (5x + 2)' = 50 (5x + 2)9

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y = (3x2 + 5x - 10)7

A. 7. ( 3x2 + 5x - 10)6

B. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)

C. 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y' = 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (3x2 + 5x - 10)'

y' = 7. ( 3x2 + 5x - 10)6. (6x + 5)

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 3. Đạo hàm của hàm số y = f (x) = (1 - 3x2)5 là:

A. -30x. (1 - 3x2)4

B. -10x. (1 - 3x2)4

C. 30 (1 - 3x2)4

D. -3x. (1 - 3x2)4

Bài giải:

Đặt u (x) = 1 - 3x2

=> u'(x) = (1 - 3x2)' = (1)' - 3 (x2)' = -6x

Với u = 1 - 3x2 thì y = u5 => y' (u) = 5. u4 = 5. (1 - 3x2)4

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y' (x)= 5. (1-3x2)4. (-6x)= -30x. (1-3x2)4

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số y = (2√x + 6x - 10)2

A. y' = (2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)

B. y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)

C. y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (2/√x + 6)

D. Đáp án khác

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp; ta có:

y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (2√x + 6x - 10)'

Hay y' = 2. ( 2√x + 6x - 10). (1/√x + 6)

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số: y= √ (x4+3x2+2x-1)


Bài giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có:


Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số: y= √ ((2x-10)4+10)


Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số: y= (-2)/ (x3+2x2 ) + (2x+1)2


Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số: y=√ (x2+2x-10)+ (2x+1)4


Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số: y= (x3+ x2 -1)2 (2x+1)2

A. y'= (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)

B. y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)

C. y'= (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (4x+4)

D. y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2- (x3+ x2-1)2. (8x+4)

Bài giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có:

y'= [( x3+ x2-1)]2'. (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. [(2x+1)2]'

Hay y' = 2 (x3+ x2-1)( x3+ x2-1)'. (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2.2 (2x+1). (2x+1)'

⇔ y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2.2 (2x+1).2

⇔ y'= 2 (x3+ x2-1)( 3x2+2x). (2x+1)2+ (x3+ x2-1)2. (8x+4)

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số.


Bài giải:


Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số


Bài giải:


Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số


Bài giải:


C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số: y= (-3x - 2)8.

A. - 24 (3x+2)7 B. - 24 (-3x-2)7 C. 12 (-3x-2)7 D. 12 (3x+2)7

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=8. (- 3x-2)7. (-3x-2)'=8 (-3x-2)7. (-3)= -24. ( -3x-2)7

Chọn B.

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= (4x2 - 2x)3

A. 3. ( 4x2-2x)2

B. ( 4x2-2x)2. (8x-2)

C. 3 (4x2-2x)2. (8x-2)

D. Đáp án khác

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3. ( 4x2-2x)2. (4x2-2x)'

y'= 3. ( 4x2-2x)2. (8x-2)

Chọn C.

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y = f (x)= (6-x+2x2)3là:

A. 3. (6-x+2x2)2 (-1+4x) B. 3. (6-x+2x2)2

C. (6-x+2x2)2 (-1+4x) D. -3x. (1-3x2)4

Đặt u (x)= 6 - x+ 2x2 ⇒ u' (x)= (6-x+2x2)'= (6)'- (x)'+2 (x2)'= -1+4x

Với u= 6- x +2x2 thì y= u3 ⇒ y' (u)=3. u2=3. (6-x+2x2)2

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y' (x)= 3. (6-x+2x2)2. (-1+4x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y= (√x+2x2+4x)4

A. 2 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4) B. 4 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4)

C. ( √x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4) D. Đáp án khác

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp; ta có:

y'=4. ( √x+2x2+4x)3. (√x+2x2+4x)'

Hay y'=4 (√x+2x2+4x)3. (1/ (2√x)+4x+4)

Chọn B.

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số: y= √ (2x3-2x2+4x)


Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có:


Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: y= √ ((x+1)4-2x)


Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số:


Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số: y=√ ((2x-2)2+2x)+ (3x-2)3


Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:


Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số: y= (2x2-1)2.√ (2x+2)


Áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có:


Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số


Áp dụng công thứcđạo hàm của một thương và đạo hàm của hàm hợp ta có;


Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số


Bài giải: