Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Đạo hàm cấp cao của hàm số - Chuyên đề Toán 11

Đạo hàm cấp cao của hàm số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm tại trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’= f’ (x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f (x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''= (f')'.

+ Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f (x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên, n ≥ 2) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y = f (x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f( (n)) (x) = (f( (n-1)) (x))'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y = x10 + 9x2 + 8x + 10

A. 90x8 + 18

B. 10x9 + 18x

C. 9x8 + 18

D. Tất cả sai

Bài giải:

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= 10x9+ 18x + 8

⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (10x9+18x+8)' = 90x8+ 18

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x8+ x4+x+ √x


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm nếu x < 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:


Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = sin (3x – 1)

A. – 27cos (3x- 1)

B. 27. cos (3x- 1)

C. 9. sin (3x- 1)

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y' = 3 cos⁡ (3x-1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y'' = [3. cos⁡ (3x-1)]'= -9 sin⁡ (3x-1)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''' = [-9 sin⁡ (3x-1)]'= -27 cos⁡ (3x-1)

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos (2x + x2)

A. - [cos (2x+ x2 ) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)]

B. cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)

C. - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 - 2sin (2x+ x2)]

D. - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + sin (2x+ x2 )]

Bài giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y' = -sin⁡ (2x+ x2). (2x+ x2)'= -sin⁡ (2x+ x2). (2+2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= [- sin⁡ (2x+ x2). (2+2x)]'

=- {[sin⁡ (2x+ x2)]'. ( 2+2x)+sin⁡ (2x+ x2 ). (2+2x)'}

= - {cos (2x+ x2). (2x+ x2) ' (2+ 2x)+ sin (2x+ x2). 2}

= - [cos (2x+ x2) (2+ 2x)2 + 2sin (2x+ x2)]

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/ (3x-6)?


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là


Ví dụ 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = (2x+ x2) (x2 – 1)

A. 12+ 24x

B. 12x2 + 12x- 2

C. 12x+ 24

D. 6x+ 12

Bài giải:

Ta có: y = (2x + x2) (x2 - 1) = 2x3 - 2x + x4 – x2

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 6x2 - 2 + 4x3 - 2x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (6x2-2+4x3-2x)' = 12x + 12x2 - 2

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y''' = (12x + 12x2 - 2)' = 12 + 24x

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √ (x2-1)


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1 (khi đó x2 -1> 0)


Ví dụ 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = sin (2x - 1) – cos (2x - 4)

A. y’’= - 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)

B. y’’= - 4sin (2x- 1)- 4 cos (2x-4)

C. y’’= 4sin (2x- 1)- 4 cos (2x-4)

D. y’’= 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)

Bài giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 2 cos⁡ (2x-1)+2sin⁡ (2x-4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= [2 cos⁡ (2x-1)+2 sin⁡ (2x-4)]' = - 4sin (2x- 1)+ 4 cos (2x-4)

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = (x2+1)3.

A. 3. ( x2+1) 2+6x2 (x2+1)

B. 3. ( x2+1) 2+12x2 (x2+1)

C. 6. ( x2+1) 2-12x2 (x2+1)

D. 6. ( x2+1) 2+24x2 (x2+1)

Bài giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 3 (x2+1)2. (x2+1)' = 6x. ( x2+1) 2

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y'' = 6. ( x2+1) 2 + 6x. [ (x2+1) 2]'

= 6. ( x2+1) 2 + 6x. 2 (x2+1). (x2+1)'

= 6. ( x2+1) 2 + 24x2 (x2+1)

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √ (x3+ 2x2)


Bài giải:


Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = tan2x


Bài giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y' = 2 (1 + tan2 2x)

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y'' = 2. ( 1+tan2 2x)’= 2.2. tan2x. ( tan2x)’

= 4tan2 x (1+ tan22x). (2x)’

= 8tan2x (1+ tan22x)

= 8. tan2x+ 8tan32x

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y = 1/x


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x2


Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/ (x2-5x+6)


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2; x≠3


C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y = x9 – x4 + 8x2+ 3

A. 504x6 - 24x

B. 72x6 - 24x+ 3

C. 72x7 - 24x+ 3

D. Tất cả sai

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 9x8 -4x3 + 16x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= (9x8-4x3+16x)' = 72x7 – 12x2 + 16

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

y'''=504x6-24x

Chon A.

Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x7-2x2+9x+ 2√x


Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là


Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos (10- 2x)

A. –16 sin (10- 2x)

B. – 16 cos (10- 2x)

C. - 8. sin (10- 2x)

D. Đáp án khác

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin⁡ (10-2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''= [4. sin⁡ (10-2x)]'= -8 cos⁡ (10-2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'= [-8 cos⁡ (10-2x)]'= -16 sin⁡ (10-2x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin (x2- 9)

A. 4x2. sin (x2 – 9) - 2. cos (x2 – 9)

B. - 2x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2 – 9)

C. - 4x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2 – 9)

D. Đáp án khác

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=cos⁡ (x2-9). (x2-9)'=cos⁡ (x2-9).2x

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= [cos⁡ (x2-9)]'. 2x+cos⁡ (x2-9). (2x)'

⇔ y''=-2x. sin⁡ (x2-9).2x+2 cos⁡ (x2-9) = - 4x2. sin (x2 – 9)+ 2. cos (x2– 9)

Chọn C.

Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = (x+3)/ (x-6)?


Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là:


Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x3 – 1) (x+1)

A. 12+ 24x

B. 24x+ 6

C. 12x+ 24

D. 24x+ 12

Ta có: y = (x3 – 1)( x+1)= x4 + x3 – x- 1

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x3+3x2-1

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''= (4x3+ 3x2-1)'=12x2+6x

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''= (12x2+6x)'=24x+6

Chọn B.

Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y = x. sinx

A. cosx + x. sinx

B. 2sinx+ x. cosx

C. 2cosx- x. sinx

D. Đáp án khác

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= (x)'. sinx+x. ( sinx)' = sinx+ x. cosx

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= (sinx+ x. cosx)'=cosx+ (x)'. cosx+x. (cos⁡x)'

=cosx+cosx-x. sinx=2. cosx-x. sinx

Chọn C

Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos (x+ 1) - 8. sin (3x+ 10)

A. y''= -3 cos⁡ (x+1)+72 sin⁡ (3x+10)

B. y''= -3 cos⁡ (x+1)+36 sin⁡ (3x+10)

C. y''= -3 cos⁡ (x+1) -72sin⁡ (3x+10)

D. Tất cả đều sai

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -3 sin⁡ (x+1)-24 cos⁡ (3x+10)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= -3 cos⁡ (x+1)+72 sin⁡ (3x+10)

Chọn A.

Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= (x3+2x-1)2.

A. y''= (3x2+2)( 6x2+4)- (x3+2x-1).12x

B. y''= (3x2+2)( 3x2+2)+ (x3+2x-1).12x

C. y''= (3x2+2)( 6x2+4)+ (x3+2x-1).12x

D. Tất cả sai

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=2 (x3+2x-1). (x3+2x-1)^'

=2. (x3+2x-1). (3x2+2)= (x3+2x-1). (6x2+4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= (x3+2x-1)' (6x2+4)+ (x3+2x-1). (6x2+4)'

⇔ y''= (3x2+2)( 6x2+4)+ (x3+2x-1).12x

Chọn C.

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √ (2x+1)+x2


Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2


Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = cot (2- 2x)


Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=- [1+cot2 (2- 2x)] (2-2x)'= 2 [1+ cot2 (2-2x)])

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot⁡ (2-2x)]'

y''=4 cot⁡ (2-2x). [-1 (1+ cot2 (2-2x)]. ( 2-2x)'

⇔ y''=8 cot⁡ (2-2x) [1+ cot2 (2-2x)] = 8cot (2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

y'''= (8 cot⁡ (2- 2x)+8cot3 (2- 2x)) '


Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/ (2x-2)


Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1


Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos (x2+x+ 1)

A. y''= -cos⁡ (x2+x+1). (2x+1) 2 – 2 sin (x2 + x+ 1)

B. y''= cos⁡ (x2+x+1). (2x+1) 2 + 2 sin (x2 + x+ 1)

C. y''= -cos⁡ (x2+x+1). (2x+1) 2 - sin (x2 + x+ 1)

D. Tất cả sai

Đạo hàm cáp một của hàm số là:

y'= -sin⁡ (x2+x+1). (x2+x+1)'= -sin⁡ (x2+x+1). (2x+1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là;

y''= [-sin⁡ (x2+x+1)]'. (2x+1)+ [-sin⁡ (x2+x+1)]. (2x+1)'

⇔ y''= -cos⁡ (x2+x+1). (2x+1) 2 – 2 sin (x2 + x+ 1)

Chọn A

Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y= (x2+x+1)/ (x+1)


Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1


Câu 15: Cho hàm số: y=sin⁡ (3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số


Đạo hàm cấp một là; y'=3. cos⁡ (3x- π/3)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9. sin⁡ (3x- π/3)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27. cos⁡ (3x- π/3)

Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y( (4))=81 sin⁡ (3x- π/3)

Đạo hàm cấp năm của hàm số: y( (5))=243. cos⁡ (3x- π/3)