Dạng 7: Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là: với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển P (x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ

P (x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x +... + a_2nx²ⁿ

Ta làm như sau:

* Viết P (x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng (bx^p+cx^q)^k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

Lưu ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn. Ta làm như sau:

* Tính hệ số a_k theo k và n;

* Giải bất phương trình a_k-1 ≤ a_k với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x (1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Bài giải:

Đặt f (x) = x (1 - 2x)⁵ + x² (1 + 3x)¹⁰

Ta có:

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của f (x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Bài 2: Đa thức P (x) = (1 + 3x + 2x²)¹⁰ = a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

Bài giải:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. => k + i = 15 với các trường hợp k = 10, i = 5 hoặc k = 9, i = 6 hoặc k = 8, i = 7.

Bài 3: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x³ - (2/x))ⁿ, biết rằng

Bài giải:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển đa thức f (x) = [1 + x² (1 - x)]⁸

Bài giải:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x⁸ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức [1+x² (1-x)]⁸ là:

a₈ = = 238.

Bài 2: Đa thức P (x) = (1 + 3x + 2x²)¹⁰ = a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

Bài giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

+ k =10, i = 5 hoặc

+ k = 9, i = 6 hoặc

+ k = 8, i = 7

Bài 3: Trong khai triển (2a - b)⁵, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Bài 4: Trong khai triển nhị thức (a + 2)^{n + 6}, (n ϵ Z). Có tất cả số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Trong khai triển (a + 2)^{(n + 6)}, (n ϵ N) có tất cả n + 7 số hạng.

Do đó n + 7 = 17 ⇔ n = 10.

Bài 5: Trong khai triển (3x² - y)¹⁰, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Bài giải:

Trong khai triển (3x² - y)¹⁰ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là: