Dạng 6: Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
Ba số hạng uk, uk+1, uk+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n.
Bài giải:
Khi xen vào giữa hai số -3 và 23 n số hạng thì ta được một CSC với công sai d = 2. Nên suy ra CSC trên có n + 2 số hạng và 23 là số hạng thứ n + 2.
Khi đó ta có: 23 = -3 + (n + 1)2 ⇒ n = 12.
Bài 2: Cho các số -4,1,6, x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x?
Bài giải:
Vì dãy số -4,1,6, x theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: (x+1)/2=6 ⇔ x=11.
Bài 3: Với giá trị x nào dưới đấy thì các số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
Bài giải:
Vì dãy số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
x2=36 ⇔ x = ±6.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Biết các số
Bài giải:
Vì các số
Vậy n = 7.
Bài 2: Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính y2+x2.
Bài giải:
Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Nên ta có:
Khi đó y2 + x2 = 4 + 36 = 40.
Bài 3: Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Bài giải:
Vì ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:
(2x - 1)(2x + 1) = x2
⇔ 3x2 = 1
⇔ x = ±1/√ 3
Bài 4: Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Bài giải:
Vì Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất nên ta có:
Vậy hiệu giữa góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là: 80º - 40º = 40º
Bài 5: Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là -2, x, -18, y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
Bài giải:
Ta có: -2, x, -18 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x2 = 36
⇔ x = ±6.
Ta có: x, -18, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x. y = 182
Nếu x = 6 ⇒ y = 54.
Nếu x = - 6 ⇒ y = -54.