Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f (x) đi qua điểm M (x1; y1)
Cách 1:
- Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng:
y = k (x – x1) + y1.
- (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N (x0; y0) khi hệ:
Cách 2:
- Gọi N (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0.
- (d) đi qua điểm nên có phương trình: y1 = y0' (x1 – x0) + y0 (*)
- Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N (x0; y0), từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Bài giải:
Tập xác định D = R
Đạo hàm: y’ = 6x2 – 6x
Gọi M (x0; y0)∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 - 3x02 + 5 và y' (x0) = 6x02 - 6x0
Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng:
y – y0 = y’ (x0) (x – x0)
⇔ y - 2x03 + 3x02 - 5 = (6x02 - 6x0) (x - x0)
⇔ (6x02- 6x0)x - 4x03 + 3x03 + 5 = y
A ∈ Δ ⇔ 4 = (6x02 - 6x0). (19/12) - 4x03 + 3x03 + 5
⇔ 8x03 - 25x02 + 19x0 - 2 = 0
⇔ x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8
Với x0 = 1 ⇒ Δ: y = 4
Với x0 = 2 ⇒ Δ: y = 12x - 15
Với x0 = 1/8 ⇒ Δ: y = (-21/32)x + 645/128
Bài 2: Cho hàm số:
Bài giải:
TXĐ: D = R\ {1}
Gọi điểm M (x0; y0).
Ta có y’ = -3/ (x - 1)2
Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:
Vì tiếp tuyến qua A (0; m) nên ta có:
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Khi đó:
Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M (1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.
Bài giải:
Ta có: y' = 3x2 - 4x + m - 1. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y = (3a2 - 4a + m - 1)(x - a) + a3 - 2x2 + (m - 1)a + 2m
Vì M ∈ Δ ⇔ 2 = (3a2 - 4a + m - 1)(1 - a) + a3 - 2x2 + (m - 1)a + 2m
⇔ 2a3 + 5a2 - 4a + 3m - 3 = 0 (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1)
Xét hàm số: h (t) = 2t3 + 5t2 - 4t, t∈ R.
Ta có: h’ (t) = 6t2 + 10t - 4. Cho h’ (t) = 0 ⇒
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1)
⇒
Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3 - 2x2 + 3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.
Bài giải:
Ta có: y' = x2 - 4x + 3. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x
Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3
Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài giải:
Ta có:
Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2
Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C):
Bài giải:
Ta có:
Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x - 1
Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x - 6) + 2 = (-1/4)x + 7/2
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M (-4; -24)
Bài giải:
Ta có: y' = 3x2 - 4x + 1. Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y = (3a2 - 4a + 1)(x - a) + a3 - 2a2 + a + 4
Vì A (-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2 - 4a + 1)(-4 - a) + a3 - 2a2 + a + 4
⇔ -2a3 - 10a2 + 16a + 24 = 0
⇔
Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133 (x + 6) - 240 = 133x + 508
Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5 (x - 2) + 6 = 5x - 10
Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8 (x + 1) + 2 = 8x + 10
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
Đáp án: B
Chọn B
Ta có:
Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1
Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2
Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số
A. y = -28x + 59; y = x + 1
B. y = -24x + 51; y = x + 1
C. y = -28x + 59
D. y = - 28x + 59; y = -24x + 51
Đáp án: C
Chọn C
Ta có:
Gọi A (a; b) là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 3/2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -28 (x-3/2) + 17 = -28x + 59
Bài 3: Cho hàm số:
A. y = (3/4)x
B. y = (3/4)(x+1)
C. y = 3 (x + 1)
D. y = 3x + 1
Đáp án: B
Chọn B.
Ta có:
Gọi d là phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k
Vì A (-1; 0) ∈ d suy ra d: y = k (x + 1) = kx + k
d tiếp xúc với (C) khi hệ
Thay (2) vào (1) ta được x = 1, suy ra k = y’ (1) = 3/4
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A (-1; 0) là: y = (3/4)(x+1)
Bài 4: Qua điểm A (0; 2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 - 2x2 + 2
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Đáp án: B
Chọn B.
Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.
Vì A (0; 2) ∈ d nên phương trình của d có dạng: y = kx + 2
Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ
Thay (2) và (1) ta suy ra được:
Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 5: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C). Xét hai mệnh đề:
(I) Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với (C) tại M (-1; 1) và tại N (1; 1)
(II) Trục hoành là tiếp tuyến với (C) tại gốc toạ độ
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Đáp án: D
Chọn đáp án D
Ta có y’ (-1) = y’ (1) = 0 ⇒ (I) đúng
Ta có y’ (0) = 0 ⇒ (II) đúng
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – 1 có đồ thị là (C). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C):
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Đáp án: B
Chọn đáp án B.
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có dạng d: y = k (x – 2)
d là tiếp tuyến của (C)
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k. Vậy có một tiếp tuyến.
Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng
A. 1 hoặc -1
B. 4 hoặc 0
C. 2 hoặc -2
D. 3 hoặc -3
Đáp án: B
Chọn B.
Đường thẳng y = 3x + m và đồ thị hàm số y = x3 + 2 tiếp xúc nhau
Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?
A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2
Đáp án: A
Chọn A
Đường thẳng y = 5 và đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc nhau
+ Với x = 0 thay vào (1) không thỏa mãn
+ Với x = 2m/3 thay vào (1) ta có: m3 = -27⇔ m = -3
Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 biết nó đi qua điểm M (2; 0) là:
A. y = 27x ± 54
B. y = 27x – 9; y = 27x – 2
C. y = 27x ± 27
D. y = 0; y = 27x – 54
Đáp án: D
Chọn D.
+ y’ = 3x2
+ Gọi A (a; b) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là:
y = 3a2(x – a) + a3 (d)
+ Vì tiếp tuyến (d) đí qua M (2; 0) nên ta có phương trình:
0 = 3a2(2 – a) + a3 ⇔
+ Với a = 0 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 0
+ Với a = 3 thay vào (d) ta có tiếp tuyến y = 27x – 54
Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị (C). Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với (C) thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. M (4; 12) B. M (- 4; 12) C. M (-4; - 12) D. M (4; - 12)
Đáp án: D
Đáp án D
Đường thẳng d: y = 3x + m tiếp xúc với (C) ⇒ d là tiếp tuyến với (C) tại A (a; b)
y’ = 2x – 5
y’ (a) = 3 ⇒ a = 4, b = -12
Bài 11: Cho hàm số:
A. y = -x + 1 và y = x – 3
B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3
C. y = -x – 1 và y = - x + 3
D. y = x + 1 và y = - x – 3
Đáp án: A
Chọn A
Gọi N (a; b) là tiếp điểm
y’ = x/2 - 1
Phương trình tiếp tuyến tại N là:
Mà tiếp tuyến đi qua M (2; -1)
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến là: y = -x + 1
Với a = 4. Phương trình tiếp tuyến: y = x – 3
Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C). Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N (0; 1).
Đáp án: C
Chọn C
Gọi M (a; b) là tiếp điểm
Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = (3a2+6a-6)(x-a)+a3+3a2-6a+1
Vì tiếp tuyến đi qua N (0; 1) nên ta có:
1 = (3a2+6a-6)(0-a)+a3+3a2-6a+1
⇔ 2a3+3a2 = 0
a = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = -6x + 1
a = -3/2. Phương trình tiếp tuyến: y = (-33/4)x + 1
Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm M (-1; 3).
A. y = -6x – 2
B. y = -6x – 9
C. y = -6x – 3
D. y = -6x – 8
Đáp án: C
Chọn C
Ta có: y’ = 4x3 + 2x. Gọi M (a; b) là tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y = (4a3+2a)(x-a)+a4+a2+1
Vì tiếp tuyến đi qua M (-1; 3) nên ta có:
3 = (4a3+2a)(-1-a)+a4+a2+1
⇔ 3a4+4a3+a2+2a+2 = 0
⇔ (a+1)2(3a2-2a+2) = 0
⇔ a = -1
Phương trình tiếp tuyến: y = -6x – 3
Bài 14: Cho hàm số:
Đáp án: D
Chọn D
Hàm số xác định với mọi x ≠ 1. Ta có:
Gọi M (a; b) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến đi qua A (4; 3) nên ta có:
+ a = 7. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/9)x + 31/9
+ a = - 3. Phương trình tiếp tuyến y = (-1/4)x - 1/4
Bài 15: Cho hàm số:
Đáp án: D
Chọn D
Ta có
Gọi M (a; b) là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A (-7; 5) nên ta có:
Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: