Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
♦ Dãy số (un) gọi là dãy tăng nếu: un < un+1 ∀ n ∈ ¥
♦ Dãy số (un) gọi là dãy giảm nếu: un > un+1 ∀ n ∈ ¥
2. Dãy số bị chặn
♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn trên nếu tồn tại một số thực sao cho un < M ∀ n ∈ ¥.
♦ Dãy số (un) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho un > m∀ n ∈ ¥..
♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |un | < M ∀ n ∈ ¥..
♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (un) ta xét: kn = (un+1 - un)
* Nếu kn > 0∀ n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) tăng
* Nếu kn < 0∀ n ∈ ¥ ⇒ dãy (un) giảm.
Khi un > 0 ∀ n ∈ ¥ ta có thể xét:
* Nếu tn > 1 ⇒ dãy số (un) tăng
* Nếu tn < 1 ⇒ dãy số (un) giảm
♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy un là dãy giảm và bị chặn.
Bài giải:
Để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un > 1, ∀ n ≥ 1
Thật vậy:
Với n = 1 ⇒ u1 = 2 > 1
Theo nguyên lí quy nạp ta có un > 1 ∀ n ≥ 1
Suy ra un - un-1 < 0
⇔ un < un-1 ∀ n ≥ 2 hay dãy (un) giảm
Theo chứng minh trên, ta có: 1 < un < u1 = 2∀ n ≥ 1
=> Dãy (un) là dãy bị chặn.
Bài 2: Cho dãy số (un). Chứng minh rằng dãy (un) là dãy tăng và bị chặn
Bài giải:
Ta chứng minh dãy (un) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Ta thấy: u1 < u2 < u3.
* Giả sử uk-1 < uk ∀ k ≥ 2, ta chứng minh uk+1 > uk.
Vậy (un) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un < 4 ∀ n, hơn nữa un > 0
=> Dãy (un) là dãy bị chặn.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau
Bài giải:
1. Ta có:
2. Ta có:
Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:
Bài giải:
1. Ta có:
với mọi n ≥ 1.
Suy ra u(n+1) > un ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy tăng.
Mặt khác:
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
2. Ta có:
3. Ta có: un > 0 ∀ n ≥ 1
⇒ u(n+1) < un ∀ n ≥ 1 ⇒ dãy (un) là dãy số giảm.
Mặt khác: 0 < un < 1 ⇒ dãy (un) là dãy bị chặn.
Bài 3: Cho dãy số (un):
a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
Bài giải:
a) Với a = 4 ta có:
Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là u1=6; u2=10/3; u3=14/5; u4=18/7; u5=22/9.
b) Ta có dãy số un tăng khi và chỉ khi
⇒ - a - 4 > 0 ⇒ a < - 4
Bài 4: Cho dãy số
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh: un = 3(n - 1) + 1; n = 1,2…
Bài giải:
a) Ta có: u1 = 2; u2 = 4; u3 = 10; u4 = 28; u5 = 82; u6 = 244.
b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau:
Ta có: un - 1 = 3 (u(n - 1) - 1) = 32 (u(n - 2) - 1) = ⋯ = 3(n - 1) (u1 - 1)
Suy ra: un - 1 = 3(n - 1) ⇒ un = 1 + 3(n - 1).
Bài 5: Cho dãy số un = -5(n - 1) + 3n + n + 2; n = 1,2…
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh rằng: un = 2u(n - 1) + 3(n - 1) - n.
Bài giải:
Với mọi n =
Suy ra un < u0 - n + 1 = 2012 - n
Do đó: 2011 – n < un < 2012 - n
⇒ [un] = 2011 - n với n =
Ta có: u0 = 2011 và
Nên [u0] = 2011 - 0, [u1] = 2011 - 1
Vậy [un] = 2011 - n, n =