Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Khi đó phương trình (1) được đưa về dạng:

Ở đó α là cung thỏa mãn:

Lưu ý:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau: cos²x – sin2x = 0.

Bài 2: Giải phương trình: sin3x - √ 3 cos3x = 2sin2x.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: 3sinx + 4cosx = 0.

Bài giải:

3sinx + 4cosx = 0.

⇔ 3/5 sin⁡x + 4/5 cos⁡x = 0

⇔ cos⁡ (x-α) = 0 với α là góc thảo mãn: cos⁡α = 4/5; sin⁡α = 3/5

⇔ x - α = π /2 + kπ

⇔ x = π /2 + α + kπ (k ∈ Z)

Bài 2: sin7x – cos2x = √ 3 (sin2x-cos7x).

Bài giải:

⇔ sin⁡7x + √ 3cos⁡7x = cos⁡2x + √ 3sin⁡2x

Bài 3: Hàm số sau có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Bài giải:

⇔ (y - 2) sin⁡2x - (y - 1) cos⁡2x = -3y

⇔ (3y)² ≤ (y - 2)² + (y + 1)²

⇔ 7y² + 2y - 5 ≤ 1

⇔ -1 ≤ y ≤ 5/7

Mà y nguyên ⇒ y ∈ {-1; 0}

Bài 4: Giải phương trình:

Bài giải:

Bài 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của phương trình:

3sin3x - √ 3cos9x = 1 + 4sin³3x.

Bài giải:

3 sin⁡3x - √ 3 cos⁡9x = 1 + 4sin³⁡3x