Dạng 3: Bài toán đếm số tự nhiên - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Dựa vào quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

♦ Tất cả n phần tử đều phải có mặt

♦ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

♦ Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi:

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

♦ k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi:

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.

♦ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

Bài giải:

Đặt y = 23, xét các số , trong đó a, b, c, d, e đôi một khác nhau và thuộc tập {0,1, y, 4,5}.

Số cách chọn một số thỏa mãn điều kiện trên là một hoán vị của 5 phần tử (tính cả trường hợp a = 0). Vậy có P₅ số.

Nếu a = 0 thì số số lập được với a, b, c, d, e như trên là P₄.

Vậy có (P₅ - P₄) = 96 số có 5 chữ số thỏa mãn điều kiện trên.

Khi ta hoán vị 2,3 trong y ta được hai số khác nhau.

Nên có 96.2 = 192 số thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 2: Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 3 học sinh nữ ngồi kề nhau.

Bài giải:

TH1: 3 bạn nữ ngồi đầu ghế. Vậy có 3!. 2! cách xếp.

TH2: 3 bạn nữ ngồi ở giữa, hai bạn nam ngồi ở hai đầu ghế. Có 3!. 2! cách xếp.

TH3: 3 bạn nữ ngồi cuối ghế. Có 3!. 2! cách xếp.

=> Có 3.3!. 2! = 3!. 2! cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài cho.

Bài 3: Cho các số 1,2,4,5,7 có bao nhiêu cách tạo ra một số chẵn gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho.

Bài giải:

Gọi chữ số cần tìm là: , trong đó a, b, c, d đôi một khác nhau và thuộc tập {1,2,4,5,7}.

Vì x chẵn nên c có hai cách chọn, c = 2 hoặc c = 4.

Số cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 4 (do tập {1,2,4,5,7} trừ đi phần tử c thì còn 4 phần tử).

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau?

Bài giải:

TH1: 2 bạn nam ngồi đầu ghế. Vậy có 3!. 2! cách xếp.

TH2: 2 bạn nam ngồi ở vị trí số 2,3. Có 3!. 2! cách xếp.

TH3: 2 bạn nam ngồi ở vị trí số 3,4. Có 3!. 2! cách xếp.

TH4: 2 bạn nam ngồi ở vị trí số 4,5. Có 3!. 2! cách xếp.

Vậy có 4.3!. 2! = 4!. 2! cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài cho.

Bài 2: Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho A và F ngồi ở hai đầu ghế?

Bài giải:

Số cách xếp A, F: 2! = 2

Số cách xếp B, C, D, E: 4! = 24.

Số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán: 2.24 = 48

Bài 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác nhau.

Bài giải:

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 3 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 3! = 6 cách xếp

Với mỗi cách xếp 3 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán, 6! cách hoán vị các cuốn sách Lý và 8! cách hoán vị các cuốn sách Hóa

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!. 6!. 8! cách xếp

Bài 4: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0,1,2,3,4,5.

Bài giải:

Gọi số cần tìm có dạng: (a≠ 0).

Chọn a: Có 5 cách (a ≠ 0).

Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 4 của 5 phần tử 0,1,2,3,4,5 trừ a. Vậy có A₅⁴ cách

Theo quy tắc nhân, có 5. A₅⁴ = 600 (số)

Bài 5: Cho chữ số 4,5,6,7,8,9. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lập thành từ 6 chữ số đó là?

Bài giải:

Gọi số cần tìm có dạng:

Chọn c có 3 cách chọn (c ∈ {4,6,8}).

Chọn có A₅² cách

Theo quy tắc nhân, có 3. A₅² = 60 (số)