Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u (n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:
u (1); u (2); u (3);.... u (n);....
♦ Ta kí hiệu u (n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3….. un,.... hoặc dạng rút gọn (un).
2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
Bài giải:
Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1; b = 0; c = -3; d = 1
⇒ un = n3 - 3n + 1 là một quy luật.
Số hạng thứ 10: u10 = 971.
Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
Bài giải:
Ta có năm số hạng đầu của dãy
Ta có:
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 = 7.
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng un = u4;
Bài giải:
1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5; u3 = 2u2 + 3 = 13; u4 = 29; u5 = 61.
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với n = 1 ⇒ u4 = 1
⇒ bài toán đúng với n = 1
* Giả sử uk = 2k+1 - 3, ta chứng minh u (k+1) = 2k+2-3
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:
uk+1 = 2uk + 3 = 2 (2k+1 - 3) = 2k+2 - 3 (đpcm).
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát
1. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
2. Tìm số hạng thứ 100 và 200
3. Số 167/84 có thuộc dãy số đã cho hay không
4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Bài giải:
1. Năm số hạng đầu của dãy là: u1 = 1, u2 = 5/4, u3=7/5, u4=3/2, u5=11/7.
2.
3. Giả sử:
Vậy 167/84 là số hạng thứ 250 của dãy số un.
4. Ta có:
⇒ un nguyên khi và chỉ khi 3 chia hết cho (n+2) ⇒ n = 1
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên.
Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:
1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy
2. Chứng minh rằng: un=5.3n-1-6.2n-1∀ n ≥ 1
Bài giải:
Bốn số hạng đầu của dãy
u3=5u2-6u1=21; u4=5u3-6u2=87; u5=309; u6=1023; u7=3261.
2. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
* u1=5.30-6.20=-1 (đúng)
* Giả sử uk=5.3(k-1)-6.2(k-1) ∀ k ≥ 2.
Khi đó, theo công thức truy hồi ta có:
u(k+1)=5uk-6u(k-1)=5. (5.3(k-1)-6.2(k-1))-6 (5.3(k-2)-6.2(k-2))=5 (5.3(k-1)-6 (3(k-2))-6 (5.2(k-1)-6.2(k-2))=5.3k-6.2k( đpcm).
Bài 3: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát:
1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số
2. Tính u20, u2010
3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
Bài giải:
1. Ta có: u1=2+√ 5, u2=4+2√ 2, u3=6+√ 13, u4=8+2√ 5, u5=10+√ 29, u6=12+2√ 10.
2.
3.
⇔ (k – n) (k + n) = 4 phương trình này vô nghiệm
Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:
1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy
2. Chứng minh rằng: un=5.2n-3n-5 ∀ n=1,2,3…
3. Tìm số dư của u2010 khi chia cho 3
Bài giải:
1 Ta có: u1=2, u2=9, u3=26, u4=63, u5=140
2. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
3. Ta có: 5.22010≡1. (-1)2010=1 (mod3)
Suy ra: u2010≡2 (mod 3).
Bài 5: Cho dãy số (un):
1. Chứng minh rằng dãy (vn): vn=un-u(n-1) là dãy không đổi
2. Biểu thị un qua u(n-1) và tìm CTTQ của dãy số (un)
Bài giải:
1. Ta có: u(n+2)-u(n+1)=u(n+1)-un ⇒ v(n+2)=u(n+1)=⋯=u2=1
2. Ta có: : un-u(n-1)=1 ⇒ un=u(n-1)+1
Suy ra un= (un-u(n-1))+ (u(n-1)-u(n-2))+⋯+ (u2-u1)+u1=1+1+⋯+1+u1=n-1+2018=n+2017
Bài trước: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11