Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc - Chuyên đề Toán 11

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M (xo; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’ (xo) = k (*)

- Giải (*) tìm xo. Suy ra yo = f (xo)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k (x - xo) + yo

Lưu ý: Đối với bài toán này ta cần chú ý một số vấn đề sau:

+ Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình: f’ (x) = k

+ Cho hai đường thẳng d1: y = k1x + b1 và d2: y = k2x + b2. Khi đó

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan (∠ OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’ (x) = tan (∠ OAB)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số: có hệ số góc k = -9?

Bài giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x2 + 6x

Ta có: k = -9 ⇔ y’ (xo) = - 9

⇔ xo2 + 6xo = -9

⇔ (xo + 3)2 = 0

⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9 (x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 2:

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:

2. Cho hàm số: có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng .

Bài giải:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số. Khi đó, ta có phương trình:

y’ (xo) = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6

⇔ (xo - 1)(2xo2 + 2xo + 3) = 0 (*).

Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀ xo ∈ R nên phương trình (*) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M (1; 4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6 (x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

PT (t) tiếp xúc (C) tại điểm M (xo; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

⇔

2. Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = x2 – 1

Gọi M (xo; yo) ∈ (C) ⇔

Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’ (xo) = xo2 - 1

Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)

Vậy có 2 điểm M (-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.

Bài 3: Cho hàm số: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.

Bài giải:

TXĐ: D = R\ {1}

Ta có:

Gọi M (xo; yo) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có:

+ Với M (0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1

+ Với M (2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3 (x – 2) + 5 = -3x + 11

Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Bài giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3 (x-1)2 - 3 ≥ -3

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3

Bài 5: Cho hàm số: có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = - x + 2 và tiếp xúc với (H).

Bài giải:

Tập xác định: D = R\ {0}

Đạo hàm: y’ = 4/ (x2)

Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:

Tại M (2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1. (x – 2) = x – 2

Tại N (-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?

Bài giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – 8

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1

Ta có phương trình:

Tại M (1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4

Tại N (-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Bài giải:

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c

Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ phương trình có nghiệm

⇔

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng:

A. 9 B. 1/9 C. -9 D. -1/9

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm: y' = 1/ (x-1)2

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A (2/3; 0)

Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ (2/3) = 9

Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số: tại giao điểm với trục tung bằng:

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1

Đáp án: B

Chọn B

Tập xác định: D = R\ {-1}

Đạo hàm: y’ = 2/ (x+1)2

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo = 0 ⇒ y’ (0) = 2

Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10

A. 1 B. 3 C. 2 D. 4

Đáp án: C

Chọn C

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x. k = 9 ⇒ 3xo2 - 6xo = 9

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x4 + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

A. y = 5x – 3

B. y = 3x – 5

C. y = 2x – 3

D. y = x + 4

Đáp án: A

Chọn A

Ta có: y’ = 4x3 + 1

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/5)x nên tiếp tuyến có hệ số góc là 5

Khi đó ta có:

4x3 + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (1; 2) có dạng

y = 5 (x – 1) + 2 = 5x – 3

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số: . Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4

A. (1 + √ 3; 5+3√ 3), (1-√ 3; 5-3√ 3)

B. (2; 12)

C. (0; 0)

D. (-2; 0)

Đáp án: A

Chọn A

Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm:

Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y’ (a) = -1

Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x3 – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Đáp án: C

Chọn C.

Tập xác định: D = R

y’ = 3x2 – 2

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ: x = y

⇒ (d) có hệ số góc là – 1

3x2 – 2 = -1 ⇔ x = ± 1/√ 3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

và

Bài 7: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π /4.

A. k = 1 B. k = 0,5 C. k = √ 2/2 D. 2

Đáp án: D

Chọn D

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π /4 là k = y’ (π /4) = 2

Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong: tại điểm có hoành độ xo = π là:

A. -√ 3/12 B. √ 3/12 C. -1/12 D. 1/12

Đáp án: C

Chọn C

Bài 9: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?

A. (-1; -9); (3; -1)

B. (1; 7); (3; -1)

C. (1; 7); (-3; -97)

D. (1; 7); (-1; -9)

Đáp án: B

Chọn B

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y’ = 3x2 – 12x + 7

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

⇒ y’ (xo) = -2 ⇔ 3xo2 - 12xo + 7 = -2 ⇔

Bài 10: Cho hàm số: tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là

A. y = -3x – 3; y = -3x – 11

B. y = -3x – 3; y = -3x + 11

C. y = -3x + 3; y = -3x – 11

D. y = -3x – 3; y = 3x – 11

Đáp án: A

Chọn A

d: 3y – x + 6 = 0 ⇔ y = (1/3)x - 2

Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có

Tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là -3 nên y’ (xo) = -3

Với xo = -3/2 ⇒ yo = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3 (x + 3/2) + 3/2 = -3x-3

Với xo = -5/2 ⇒ yo = (-7)/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3 (x + 5/2)-7/2 = -3x-11

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = - 1 vuông góc với đường thẳng d: y = 2x – y – 3 = 0

A. 3/4 B. 1/4 C. 7/16 D. 9/16

Đáp án: D

Chọn D

d: y = 2x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2x – 3, hệ số góc của đường thẳng d là 2

y’ = 4 (2m – 1)x3

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – 1)x4 – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = -1 là y’ (-1) = -4 (2m – 1)

Ta có 2. -4 (2m – 1) = -1 ⇔ m = 9/16

Bài 12: Cho hàm số: có đồ thị cắt trục tung tại A (0; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là

A. a = 1, b = 1

B. a = 2, b = 1

C. a = 1, b = 2

D. a = 2, b = 2

Đáp án: B

Chọn B

A (0; - 1) ∈ (C) nên ta có: -1 = b/ (-1) ⇔ b = 1

Ta có

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là:

k = y’ (0) = -a – b = -3 ⇔ a = 3 – b = 2.

Bài 13: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là

A. M (1; -3), k = -3

B. M (1; 3), k = -3

C. M (1; -3), k = 3

D. M (-1; -3), k = -3

Đáp án: A

Chọn A.

Gọi M (xo; yo). Ta có y’ = 3x2 – 6x

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là:

k = y’ (xo) = 3xo2 - 6xo = 3 (xo - 1)2 - 3 ≥ -3

Vậy k bé nhất bằng -3 khi xo = 1, yo = -3

Bài 14: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

A. y = 18x + 8 và y = 18x -27

B. y = 18x + 8 và y = 18x - 2

C. y = 18x + 81 và y = 18x - 2

D. y = 18x + 81 và y = 18x - 27

Đáp án: D

Chọn D.

Gọi M (xo; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’ = 3x2 + 6x – 6

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1 nên ta có:

y' (xo) = 18 ⇔ 3xo2 + 6xo - 6 = 18 ⇔

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x – 27

Bài 15: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

A. y = 9x - 1 hay y = 9x + 17

B. y = 9x - 1 hay y = 9x + 1

C. y = 9x - 13 hay y = 9x + 1

D. y = 9x - 15 hay y = 9x + 17

Đáp án: D

Chọn D

Ta có: y’ = 3x2 – 3. Gọi M (xo; yo) là tiếp điểm

Ta có: y’ (xo) = 9 ⇔ 3xo2 - 3 = 9 ⇔ xo = ±2

xo = 2 ⇒ yo = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 9 (x – 2) + 3 = 9x – 15

xo = -2 ⇒ yo = -1. Phương trình tiếp tuyến: y = 9 (x + 2) – 1 = 9x + 17