Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11

Dạng 2: Tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

a. Tính tuần hoàn và chu kì:

Định nghĩa: Hàm số y = f (x) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

(x- T) ∈ D và (x + T) ∈ D

f (x + T) = f (x).

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng:

Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì T = 2 π;

Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π;

Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì T = π;

Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì T = π

Chú ý:

Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì

Hàm số y = cos (ax + b) tuần hoàn với chu kì

Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì

Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì

Hàm số y = f1(x) tuần hoàn với chu kì T1 và hàm số y = f2(x) tuần hoàn với chu kì T2 thì hàm số y = f1(x) ± f2(x) tuần hoàn với chu kì T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.

b. Hàm số chẵn, lẻ:

Định nghĩa: Hàm số y = f (x) có tập xác định là D được gọi là hàm số chẵn nếu:

♦ x ∈ D và – x ∈ D.

♦ f (x) = f (-x).

Hàm số y = f (x) có tập xác định là D được gọi là hàm số lẻ nếu:

♦ x ∈ D và – x ∈ D.

♦ f (x) = - f (-x).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:

Hướng dẫn giải

a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2π /2 = π.

b.

Nhận xét: Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì T = 2 π, hàm số y = cos2x tuần hoàn với chu kì T = π. Do vậy, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = 2 π.

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx + cos√ 3x.

Hướng dẫn giải

Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T ≠ 0. Khi đó ta có:

cos (x + T) + cos [√ 3 (x +T)] = cosx + cos√ 3x.

Cho x = 0.

Ta có: cosT + cos√ 3T = 2. Vì cosx ≤ 1 với mọi x nên ta có:

mà m, k ∈ Z (vô lý). Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.

Bài 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos (2x).

c. y = tanx + cos (2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định: D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

Ta có: sin (-x) = -sinx => Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

Ta có: cos (-2x) = cos (2x) => Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c.

Lấy x ∈ D thì – x ∈ D.

Ta có: tan (-x) + cos (-2x + 1) = -tanx + cos (-2x + 1).

=> Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:

a) y = cos (-2x +4)

b) y = tan (7x + 5)

Bài giải:

a) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π /2 = π

b) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số: y = sinx + sin3x

Bài giải:

Nhận xet: Hàm số y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π; hàm số y = sin3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3.

=> Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π.

Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số: y = cosx + 2sin5x

Bài giải:

Làm tương tự như bài 2. Lưu ý phần tính tuần hoàn và chu kì

=> Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π.

Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx.

Bài giải:

a) Ta có, tập xác định của hàm số là D = R.

cos (-x) + cos (-2x) = cosx + cos2x.

=> Hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số là D = R\ {k π /2, k ∈ Z}.

Ta có: tan (-x) + cot (-x) = - tanx – cotx.

=> Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + sinx.

b) y = sin2x + cot100x

Bài giải:

a) Tập xác định của hàm số: D = R.

Ta có: sin (-x) + cos (-x) = - sinx + cosx.

=> Hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.

b) Tập xác định của hàm số: D = R\ {k π /100, k ∈ Z}.

Ta có: sin (-2x) + cot (-100x) = - sin2x – cot (100x).

=> Hàm số đã cho là hàm số lẻ.