Dạng 2: Tìm m để hàm số liên tục - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này.
- Điệu kiện để hàm số liên tục tại x0:
- Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
- Phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f (x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho f (a).f (b) < 0.
Phương trình f (x) = 0 có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1,2, …, k) nằm trong D sao cho f (ai). f (ai+1) < 0.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xác định a để hàm số:
Bài giải:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x =, ta có:
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 2
Vậy a = -1, a = 0.5 là những giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số f (x) = x3 – 1000x2 + 0,01. Phương trình f (x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
I. (–1; 0) II. (0; 1) III. (1; 2)
Bài giải:
Ta có hàm số y = f (x) = x3 – 1000x2 + 0,01 là hàm liên tục trên R
f (0) = 0.01 và f (-1) = - 1001 + 0.01 < 0. Nên f (0). (-1) < 0.
Vậy hàm số có nghiệm trong khoảng I
Bài 3: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R
Bài giải:
Với x < 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 0 ta có:
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm: x7 + 3x5 - 1 = 0
Bài giải:
Ta có hàm số f (x) = x7 + 3x5 - 1 liên tục trên R và f (0).f (1) = - 3 < 0
=> Phương trinh f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1).
Bài 5: CMR phương trình sau có ít nhất một nghiệm: x2sinx + xcosx + 1 = 0
Bài giải:
Ta có hàm số f (x) = x2sinx + xcosx + 1 liên tục trên R và f (0).f (π) = -π < 0.
=> Phương trinh f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; π).
Bài 6: Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên R
Bài giải:
Ta có hàm số đã cho liên tục trên R\ {π /2}. Do các hàm y = sinx và y = ax + b lên tục trên R.
Ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại x = π /2.
Vậy a, b là số thực thỏa mãn phương trình
Bài 7: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R:
Bài giải:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có:
⇔ m = 3
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Bài 8: Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên R
Bài giải:
Với x ≠ 2 và x ≠ 0 hàm số liên tục.
Để hàm số đã cho liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 2 và x = 0
Vậy a = 1 và b = -1 thì hàm số liên tục trên R
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số:
Với giá trị nào của a thì hàm số f (x) liên tục tại x = - 2?
A. a = -5
B. a = 0
C. a = 5
D. a = 6
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 2: Cho hàm số: :
Với giá trị nào của a thì hàm số f (x) liên tục tại x = 3?
A. a = 3 B. a = 1/3 C. a = -1/3 C. a = -2
Đáp án: B
Đáp án B
Bài 3: Cho hàm số:
Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2?
A. -2
B. -1
C. 1
D. 3
Đáp án: C
Đáp án C
Bài 4: Cho hàm số:
Giá trị nào của m để hàm số đã cho liên tục tại x = -2?
A. 7
B. -7
C. 5
D. 1
Đáp án: A
Đáp án A
Bài 5: Cho hàm số:
Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại x = 2?
A. -2
B. -1
C. 1
D. 3
Đáp án: B
Đáp án B
Bài 6: Cho hàm số:
Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi:
Đáp án: A
Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số đó liên tục tại x = 1 và x = -1
Đáp án A
Bài 7: Cho hàm số:
Giá trị của m để f (x) liên tục tại x = 2 là:
Đáp án: C
Hàm số liên tục tại x = 2 khi và chỉ khi
Đáp án C
Bài 8: Cho hàm số:
Tìm b để f (x) liên tục tại x = 3
A. √ 3 B. - √ 3 C. (2√ 3)/3 D. – (2√ 3)/3
Đáp án: D
Hàm số liên tục tại x = 3 khi và chỉ khi
Đáp án D
Bài 9: Cho hàm số:
Tìm k để f (x) gián đoạn tại x = 1.
Đáp án: A
f (x) gián đoạn tại x = 1 khi và chỉ khi:
Đáp án A
Bài 10: Cho hàm số:
Tìm m để f (x) liên tục trên [0; +∞) là.
A. 1/3 B. 1/2 C. 1/6 D. 1
Đáp án: C
f (x) liên tục trên [0; +∞) khi và chỉ khi f (x) liên tục tại x = 0+ và liên tục tại x = 9
Đáp án C
Bài 11: Cho hàm số:
Giá trị của a để f (x) liên tục trên R là:
A. 1 và 2 B. 1 và –1 C. –1 và 2 D. 1 và –2
Đáp án: D
Đáp án D
Bài 12: Cho hàm số:
Tìm a để f (x) liên tục tại x = 0
A. 1 B. –1 C. –2 D. 2
Đáp án: B
Hàm số liên tục tại x = khi và chỉ khi
Đáp án B
Bài 13: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) > 0 thì tồn tại ít nhất số c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0
II. f (x) liên tục trên (a; b] và trên [b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)
A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Cả I và II đúng D. Cả I và II sai
Đáp án: D
Đáp án D
Bài 14: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có nghiệm
II. f (x) không liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) ≥ 0 thì phương trình f (x) = 0 vô nghiệm
A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Cả I và II đúng D. Cả I và II sai
Đáp án: A
Đáp án A
Bài 15: Cho hàm số:
(I) f (x) liên tục tại x = 2
(II) f (x) gián đoạn tại x = 2
(III) f (x) liên tục trên đoạn [-2,2]
A. Chỉ (I) và (III) B. Chỉ (I) C. Chỉ (II) D. Chỉ (II) và (III)
Đáp án: B
TXĐ: D = (-∞, -2] ∪ [2, +∞). Vậy (III) và (II) sai. Đáp án B