Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
- Đường cong (C): y = f (x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là xo khi và chỉ khi hàm số y = f (x) khả vi tại xo. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’ (xo)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f (x) tại điểm M (xo; f (xo)) có dạng:
y = f’ (xo) (x - xo) + f (xo)
Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (xo; f (xo))
Bài giải:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại M (xo;f (xo)) là:
y = f’ (xo) (x - xo) + f (xo) (1)
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo
Bài giải:
Tính yo = f (xo) và f’ (xo). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến:
y = f’ (xo) (x - xo) + yo
Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo
Bài giải:
Gọi M (xo, yo) là tiếp điểm
Giải phương trình f (x) = yo ta tìm được các nghiệm xo.
Tính y’ (xo) và thay vào phương trình (1)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
1. Tại điểm M (-1; 3)
2. Tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 3x2 + 6x
1. Ta có: y’ (-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là:
y = -3. (x + 1) + 3 = - 3x
2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21
Tương tự câu 1, phương trình là:
y = y’ (2). (x – 2) + 21 = 24x – 27
Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số:
Bài giải:
Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-7/3, -5) là y = 9x + 16
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (- 4,5) là y = 4x + 21
Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1
Bài giải:
Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có: xo = 1 ⇒ yo = - 1
y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6.
Từ đó suy ra y’ (1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 (x – 1) – 1 = 3x – 4
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1
Bài giải:
Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có yo = 1 ⇒ 2xo4 - 4xo2 + 1 = 1
⇔
Ta có: y’ = 8x3 – 8x
Với M (0; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0
Với M (√ 2; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√ 2 (x - √ 2) + 1 = 8√ 2x – 15
Với M (-√ 2; 1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√ 2 (x + √ 2) + 1 = - 8√ 2x – 15
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M (0,1).
Bài giải:
y’ = 3x2 – 3.
y’ (0) = - 3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3
Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1.
Bài giải:
Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có: xo2 = 1 ⇔ xo = ±1
Ta có: y’ = 4x3 + 2x
Với M (1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6 (x – 1) + 3 = 6x – 3
Với M (-1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6 (x + 1) + 3 = - 6x – 3
Bài 7: Cho hàm số:
Bài giải:
x = 0 ⇒ y = - m – 1
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1.
Tiếp tuyến đi qua A (4; 3) nên ta có: 3 = 4 (- m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số y = f (x), có đồ thị (C) và điểm Mo(xo; f (xo)) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo là:
A. y = f' (x)(x-xo)+yo
B. y = f' (xo) (x-xo)
C. y - yo = f' (xo) (x-xo)
D. y - yo = f' (xo)x
Đáp án: C
Chọn C
Bài 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
A. y = - 8x + 4
B. y = 9x + 18
C. y = -4x + 4
D. y = 9x – 18
Đáp án: D
Chọn D.
Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có xo = 2 ⇒ yo = 0.
y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – 3 nên y’ = 3x2 – 3
Từ đó suy ra y’ (2) = 9
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 (x – 2) = 9x – 18
Bài 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = x (3 – x)2 tại điểm có hoành độ x = 2 là
A. y = -3x + 8
B. y = -3x + 6
C. y = 3x – 8
D. y = 3x – 6
Đáp án: A
Chọn A.
Gọi M (xo; yo) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có xo = 2 ⇒ yo = 2
y = (3 – x)2x = x3 – 6x2 + 9x nên y’ = 3x2 – 12x + 9
Từ đó suy ra y’ (2) = - 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -3 (x – 2) + 2 = -3x + 8
Bài 4: Cho đường cong (C): y = x2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1; 1) là
A. y = -2x + 1.
B. y = 2x + 1.
C. y = -2x - 1.
D. y = 2x – 1.
Đáp án: C
Chọn C.
Ta có y = x2 nên y’ = 2x
Từ đó suy ra y’ (-1) = -2
Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm là: y = -2 (x + 1) +1 = -2x – 1
Bài 5: Cho hàm số:
A. y = - 4 (x – 1) – 2
B. y = - 5 (x – 1) + 2
C. y = - 5 (x – 1) – 2
D. y = -3 (x – 1) – 2
Đáp án: C
Chọn C.
Ta có
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5 (x – 1) – 2 = -5x + 3
Bài 6: Cho hàm số:
A. y = 7x + 2
B. y = 7x - 2
C. y = - 7x + 2
D. y = - 7x - 2
Đáp án: A
Chọn A.
Ta có: y’ = x2 – 6x + 7
Hệ số góc tiếp tuyến y’ (0) = 7
Phương trình tiếp tuyến tại A (0; 2): y = 7x + 2.
Bài 7: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
A. y = - x + 3
B. y = - x - 3
C. y = 4x – 1
D. y = 11x + 3
Đáp án: A
Chọn A.
Ta có: (P) cắt trục tung tại điểm M (0; 3)
y’ = 4x – 1
Hệ số góc tiếp tuyến: y’ (0) = - 1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại M (0; 3) là y = -x + 3
Bài 8: Đồ thị (C) của hàm số:
A. y = - 4x – 1.
B. y = 4x – 1.
C. y = 5x – 1.
D. y = - 5x – 1.
Đáp án: A
Chọn A.
Ta có: điểm A (0; -1)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (0; -1) là:
y = -4x – 1
Bài 9: Cho hàm số:
A. y = 2x – 4.
B. y = 3x + 1.
C. y = - 2x + 4.
D. y = 2x.
Đáp án: C
Chọn C
Giao điểm của (H) với trục hoành là A (2; 0). Ta có:
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -2 (x – 2) = -2x + 4
Bài 10: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f (x) = x3 – 2x2 + 3x tại điểm có hoành độ xo = -1 là:
A. y = 10x + 4
B. y = 10x – 5
C. y = 2x – 4
D. y = 2x – 5
Đáp án: A
Chọn A.
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = 3x2 – 4x + 3
y’ (-1) = 10, y (-1) = - 6
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = 10 (x + 1) – 6 = 10x + 4
Bài 11: Gọi (H) là đồ thị hàm số:
A. y = x – 1
C. y = - x + 1
D. y = x + 1
Đáp án: A
Chọn A.
Tập xác định: D = R\ {0}
Đạo hàm: y’ = 1/x2
(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là x = 1 và không cắt trục tung
Ta có y’ (1) = 1
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = x – 1
Bài 12: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H):
A. y = (1/3)(x-1)
B. y = 3x
C. y = x – 3
D. y = 3 (x – 1)
Đáp án: A
Chọn A
Tập xác định: D = R\ {-2}
Đạo hàm:
(H) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ xo = 1 nên suy ra y’ (1) = 1/3 và y (1) = 0
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d: y = (1/3)(x-1)
Bài 13: Gọi (P) là đồ thị hàm số y = x2 – x + 3. Phương trình tiếp tuyến với (P) tại giao điểm của (P) và trục tung là
A. y = -x + 3
B. y = -x - 3
C. y = x - 3
D. y = -3x + 1
Đáp án: A
Chọn đáp án A
Tập xác định: D = R
Giao điểm của (P) và trục tung là M (0; 3)
Đạo hàm: y’ = 2x – 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 0 là – 1
Phương trình tiếp tuyến tại M (0; 3) là y = -x + 3.
Bài 14: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
A. y = - x + 2
B. y = x + 2
C. y = x – 1
D. y = - x – 3
Đáp án: D
Chọn đáp án D.
Tập xác định: D = R\ {1}
Đạo hàm:
Tiếp tuyến tại M (-1; -2) có hệ số góc là k = -1
Phương trình của tiếp tuyến là y = -x – 3
Bài 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A. y = 8x – 6, y = -8x – 6
B. y = 8x – 6, y = -8x + 6
C. y = 8x – 8, y = -8x + 8
D. y = 40x – 57
Đáp án: A
Chọn đáp án A
Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y’ = 4x3 + 4x
Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 = x4 + 2x2 – 1 ⇔
Tại M (1; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = 8x – 6
Tại N (-1; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = -8x – 6