Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải & Ví dụ
- Để chứng minh limun = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho |un|< a ∀ n > na.
- Để chứng minh limun = 1 ta chứng minh lim (un-1) = 0.
- Để chứng minh limun = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un > M ∀ n > nM.
- Để chứng minh limun = -∞ ta chứng minh lim (-un) = +∞
- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Chứng minh rằng:
Bài giải:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
Bài 2: CMR: dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.
Bài giải:
Ta có: u2n = 1 ⇒ limu2n = 1; u(2n+1) = -1 ⇒ limu(2n+1) = -1
Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên => Dãy (un) không có giới hạn.
Bài 3: Chứng minh các giới hạn sau:
Bài giải:
1. Với ∀ số thực dương M lớn tùy ý, ta có:
Chọn:
=>
2. Với ∀ M > 0 lớn tùy ý, ta có:
Ta chọn:
Do đó:
Bài 4: CMR:
Bài giải:
1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
Ta có:
2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
Bài 5: Chứng minh các giới hạn sau:
Bài giải:
1. Với ∀ a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn
2. Ta có:
3. Với ∀ số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
Bài 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
Bài giải:
1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
Vậy A = 2
2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa mãn:
3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn:
Ta có:
Vậy C = 1
Bài 7: CMR: Dãy số (un): un = (-1)n không có giới hạn.
Bài giải:
Ta có: u2n → +∞; u(2n+1) = - (2n+1) → -∞
=> Dãy số đã cho không có giới hạn.
Bài 8: Chứng minh các giới hạn sau:
Bài giải:
1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó ∀ n > m+1
Ta có:
Mà:
2. Nếu a = 1 => đpcm
+ Giả sử a > 1. Khi đó:
+
=> Ta luôn có:
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
Đáp án: C
Cách 1.
Đáp án C
Cách 2 (phương pháp loại trừ). Từ các định lí ta thấy:
Các dãy ở phương án A, B đều bằng 0, do đó loại phương án A, B
IMG_40Do đó loại phương án D
Chọn đáp án C
Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Đáp án: D
Cách 1. Dãy (1/3)n có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqn = 0. Đáp án là D
Cách 2. Các dãy ở các phương án A, B, C đều có dạng limqn nhưng |q| > 1 nên không có giưới hạn 0, do đó loại phương án A, B, C. Chọn đáp án D
Bài 3:
Đáp án: D
Cách 1. Chia tử và mẫu xủa phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được
Đáp án là D
Cách 2. Sử dụng nhận xét:
khi tính limun ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho nk (nk là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:
Nếu m < p thì limun = 0. Nếu m = p thì
Nếu m > p thì limun = +∞ nếu am.bp > 0; limun = -∞ nếu am.bp < 0
Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả
Do đó chọn đáp án là D
Bài 4:
Đáp án: A
Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả
Đáp án là A
Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n4(n4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án A
Bài 5:
Đáp án: B
Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả
Đáp án là B
Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n4(n4 là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án B
Bài 6: Dãy số nào sau đây có giưới hạn bằng 1/5?
Đáp án: A
Cách 1. Tính được
Suy ra đáp án là A
Cách 2. . Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu thức bằng nhau và tỉ số hệ số của cúng bằng 1/5. Chỉ có dãy ở phương án A thoả mãn. Vậy đáp án là A.
Bài 7:
Đáp án: B
Ta có:
Đáp án B
Bài 8:
Đáp án: A
chia cả tử thức và mẫu thức cho √ n
Đáp án A
Bài 9:
Đáp án: B
Trước hết tính
Do đó
Đáp án là B
Bài 10:
Đáp án: D
Chia cả tử thức mẫu thức cho n, ta có:
Đáp án D
Bài 11: lim (-3n3 + 2n2 - 5) bằng... ?
A. -3
B. 0
C. -∞
D. +∞
Đáp án: C
Ta có:
Vì
nên lim (-3n3 + 2n2 - 5) = -∞
Đáp án C
Bài 12: Lim (2n4 + 5n2 - 7n) bằng... ?
A. -∞
B. 0
C. 2
D. +∞
Đáp án: D
Ta có:
Đáp án D
Bài 13: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞?
A. un = 9n2 - 2n5
B. un = n4 - 4n5
C. un = 4n2 - 3n
D. un = n3 - 5n4
Đáp án: C
Chỉ có dãy un = 4n2 - 3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞.
Đáp án C
Bài 14: Nếu limun = L, un + 9 > 0 ∀ n thì
Đáp án: C
vì limun = L nên lim (un + 9) = L + 9 do đó
Đáp án là C
Bài 15:
A. 0
B. 1
C. 2
D. +∞
Đáp án: B
Cách 1. Chia tử thức và mẫu thức cho n:
Đáp án là B
Cách 2. Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √ 4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1. Đáp án B