Dạng 1: Cách giải phương trình lượng giác cơ bản - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Phương trình sinx = a (1)

♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là: x = α + k2π, k ∈ Z và x = π - α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện: và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là: x = arcsina + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình cosx = a (2)

♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là x = α + k2π, k ∈ Z và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết α = arccos a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là

x = arccosa + k2π, k ∈ Z

và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

Các trường hợp đặc biệt:

- Phương trình tanx = a (3)

Điều kiện:

Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết α = arctan a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

x = arctana + kπ, k ∈ Z

- Phương trình cotx = a (4)

Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết α = arccot a.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

x = arccota + kπ, k ∈ Z

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin (π /6)

b) 2cosx = 1

c) tanx – 1 = 0

d) cotx = tan2x.

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cos² x - sin2x =0.

b) 2sin (2x – 40º) = √ 3

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác:

a) sin⁡x = sin⁡π /6

b)

c) tan⁡x = 1

⇔ cos⁡x = π /4 + kπ (k ∈ Z)

d) cot⁡x = tan⁡2x

Bài 2: Giải các phương trình lượng giác:

a) cos²x - sin²x = 0

⇔ cos²x - 2 sin⁡x cos⁡x = 0

⇔ cos⁡x (cos⁡x - 2 sin⁡x) = 0

b) 2 sin⁡ (2x - 40º) = √ 3

⇔ sin⁡ (2x - 40º) = √ 3/2

Bài 3: Giải các phương trình lượng giác:

a) sin⁡ (2x + 1) = cos⁡ (3x + 2)

b)

⇔ sin⁡x + 1 = 1 + 4k

⇔ sin⁡x = 4k (k ∈ Z)

Nếu |4k| > 1⇔ |k| > 1/4 => phương trình vô nghiệm

Nếu |4k| ≤ 1 mà k nguyên ⇒ k = 0.

Khi đó: sin⁡x = 0 ⇔ x = mπ (m ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) cos (3x + π) = 0

b) cos (π /2 - x) = sin2x

Bài giải:

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) sinx. cosx = 1

b) cos² x - sin² x + 1 = 0

Bài giải:

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) cos² x - 3cosx + 2 = 0

b) 1/ (cos² x) - 2 = 0.

Bài giải:

Bài 4: Giải phương trình: (√ 3 - 1) sinx = 2sin2x.

Bài giải:

Bài 5: Giải phương trình: (√ 3 - 1) sinx + (√ 3 + 1) cosx = 2√ 2 sin2x

Bài giải: