Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
* Định nghĩa:
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un < un + 1
+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: un > un+1
* Để xét tính tăng (giảm) của dãy số ta có 2 cách sau:
+ Cách 1: Xét hiệu: un+1 − un
Nếu un+1 − un > 0 thì dãy số tăng.
Nếu un+1 − un < 0 thì dãy số giảm
+ Cách 2. Nếu các số hạng của dãy un > 0 với mọi n: Xét thương
Nếu T > 1 thì dãy số tăng.
Nếu T < 1 thì dãy số giảm.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = a. 10n (với a hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số có un+1 = a. 10n+1.
B. Hiệu số un+1 − uu = 10a.
C. Với a > 0 thì dãy số tăng
D. Với a < 0 thì dãy số giảm.
Bài giải:
+Ta có: un+1 = a. 10n + 1
+ Xét hiệu: un+1 − un = a. 10n+1 − a. 10n = a. 10n (10 − 1) = 9a. 10n.
+ Nếu a > 0 thì un + 1 − un > 0 nên dãy số tăng.
Và nếu a < 0 thì un + 1 − un < 0 nên dãy số giảm.
=> B sai
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
+ Ta có:
+ Xét hiệu:
Nếu a > 0 thì un + 1 − un < 0 => Dãy số giảm
Nếu a < 0 thì un+1 − un > 0 => dãy số tăng
Do chưa biết dấu của a nên ta chưa thể kết luận tính tăng; giảm của dãy số.
Khẳng định đúng là: D.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
+ Số hạng thứ 4 của dãy số là
+ Số hạng thứ n + 1 của dãy số là
+ Xét hiệu:
=> Nếu k > 0 thì T < 0 nên dãy số giảm
Nếu k < 0 thì T > 0 nên dãy số tăng
=> B sai.
Khẳng định sai là: B.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
+ Số hạng thứ 9 của dãy số là:
+ Số hạng thứ 10 của dãy số là:
+ Số hạng thứ 5 của dãy số là:
+ Dãy un là một dãy đan dấu nên đây là dãy số không tăng; không giảm
=> C sai.
Khẳng định sai là: C.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) có un = − n2 + n + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 5 số hạng đầu của dãy là − 1; 1; − 5; − 11; − 19.
B. Số hạng thứ n+1 là: un+1 = − n2 + n + 2.
C. Số hạng thứ 10 của dãy số là: u10 = 89
D. Là một dãy số giảm.
Bài giải:
Ta xét các phương án:
+ 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: 1; − 1; − 5; − 11; − 19
+ Số hạng thứ n+ 1 của dãy số là un + 1 = − (n+1)2 + (n+1) + 1 = − n2 − n + 1
+ Số hạng thứ 10 của dãy số là: u10 = − 89
+ Xét hiệu T = un+1 − un = (− n2 − n + 1) − (− n2 + n + 1)= − 2n < 0 với ∀ n ≥ 1
Do đó (un) là một dãy giảm.
Khẳng định đúng là: D.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
+ Ta có:
+ Xét hiệu:
=> un+1 > un và dãy số đã cho là dãy số tăng.
=> B sai.
Khẳng định sai là: B.
Ví dụ 7: Xét tính tăng; giảm của dãy số (un) biết
A. Dãy số giảm
B. Dãy số tăng
C. Dãy số không tăng; không giảm
D. Đáp án khác
Bài giải:
Số hạng thứ n+1 là
+ Xét hiệu:
=> Dãy số (un) là dãy số giảm.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 8: Chọn mệnh đề sai. Cho dãy số (un) xác định bởi
Bài giải:
Ta có:
Khẳng định sai là: C.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = (− 1)n. (2n + 1). Tìm mệnh đề sai.
A. u1 = − 3
B. u2 = 5
C. Dãy số giảm
D. Dãy số không tăng; không giảm
Bài giải:
Ta có: u1 = − 3; u2 = 5; u3 = − 9
Từ đó suy ra dãy số (un) là dãy số không tăng; không giảm.
=> C sai.
Mệnh đề sai là: C.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi
Đáp án: C
+ Do n ∈ N* nên un > 0 với mọi n.
Xét tỉ số:
=> un < un + 1
=> Dãy số (un) là một dãy số tăng.
=> C sai
Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2n − √ (4n2 − 1). Tìm mệnh đề sai?
Đáp án: B
+ Ta có:
=> un > 0 với mọi n ∈ N*.
+ Lại có: un+1 = 2n+2 − √ (4 (n+1)2 − 1)
+ Xét hiệu:
∀ n ∈ N*
Vì:
Vậy: dãy số (un) giảm.
=> B sai
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm
C. Số hạng thứ 2 là u2 = √ 7.
D. un > 1 với mọi n.
Đáp án: B
+ Ta có: u2 = √ (2u1 + 3) = √ 7 > u1
+ Ta dự đoán un+1 > un (*) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.
Ta có (*) đúng với n = 1
Giả sử ta có: uk > uk − 1 với k ≥ 2. Khi đó ta có:
uk+1 = √ (2uk + 3) > √ (2uk− 1 + 3) = uk (do uk > uk − 1)
Suy ra (*) đúng với mọi n ∈ N*.
Vậy (un) là dãy số tăng.
=> B sai.
Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. Số hạng thứ hai u2 = 1.
B. Dãy số (un) giảm.
C. Dãy số (un) tăng.
D. Các số hạng của dãy luôn dương.
Đáp án: C
* Từ hệ thức truy hồi đã cho; ta chứng minh un > 0 với mọi n.
Thật vậy; u1 = 3 > 0
=> đúng với n = 1.
Giả sử đúng với n = k và k ∈ N*; tức là uk > 0
Ta chứng minh uk+1 > 0.
Thật vậy;
*Ta có:
Ta dự đoán un + 1 < un (**) với mọi n ∈ N*.
Ta có (**) đúng khi n = 1. Giả sử có uk < uk-1
Khi đó
Vì uk < uk− 1 nên
Suy ra (**) đúng với mọi n.
Vậy (un) là dãy số giảm.
=> C sai.
Câu 5: Cho a dãy số (un) xác định bởi: un = 2n3 − 5n + 1. Tìm mệnh đề đúng
A. Dãy số tăng.
B. Dãy số giảm.
C. Số hạng thứ n+1 là un + 1 = 2 (n+1)3 − 5n + 1
D. Dãy số không tăng không giảm.
Đáp án: A
Dãy số (un) với un = 2n3 − 5n + 1
Với mỗi n, ta có: un+1 − un = [2. (n+1)3 − 5 (n+1)+ 1] − (2n3 − 5n+1)
= 2n3 + 6n2 + 6n+ 2- 5n – 5+ 1 – 2n3 + 5n – 1
= 6n2 + 6n – 3= 6n2 + 3n+ (3n- 3)> 0 đúng do n≥1
Vì thế dãy số (un) là một dãy số tăng.
=> A đúng.
Chọn A.
Câu 6: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 3n − n và dãy số (vn) xác định bởi
A. Dãy số (un) và (vn) là hai số tăng.
B. Dãy số (un) và (vn) là hai dãy số giảm.
C. Dãy số (un) tăng và dãy số (vn) là giảm
D. Dãy số (un) giảm và dãy số (vn) là tăng.
Đáp án: C
* Xét dãy số (un) với un = 3n − n.
Với mỗi n ∈ N*, ta có: un+1 − un = [3n+1 − (n + 1)] − (3n − n)
= 3.3n − n − 1 − 3n + n= 2.3n − 1 > 0 vì n ∈ N*
=> Dãy số (un) là dãy số tăng.
* Xét dãy số (vn) với
Với mỗi n ∈ N* ta có:
Vì (− n2 − n + 1) < 0 với ∀ n ≥ 1, và [(n+1)2 + 1]. (n2 + 1) > 0
Kết luận: dãy số (vn) là một dãy số giảm.
Câu 7: Cho dãy số (un) với
A. Dãy số (un) tăng; dãy số (vn) giảm.
B. Dãy số (un)giảm; dãy số (vn) tăng.
C. Dãy số (un) và (vn) đều giảm.
D. Dãy số (un) và (vn) đều tăng.
Đáp án: B
* Xét dãy số (un) với
Dễ thấy un > 0 với mọi n. Xét tỉ số
Ta có:
Thật vậy:
Kết luận: (un) là một dãy số giảm.
* Xét dãy số (vn) với
Ta có:
Với mọi n ∈ N* ta có:
Kết luận (vn) là dãy số tăng.
Câu 8: Dãy số (un) với un = n − √ (n2 − 1) và dãy số
A. Cả hai dãy số giảm.
B. Cả hai dãy số tăng.
C. Dãy số (un) tăng và (vn) giảm.
D. Dãy số (un) giảm và (vn) tăng.
Đáp án: B
* Xét dãy số (un) với un = n − √ (n2 − 1)
Ta có:
Dễ dàng ta có:
Từ đó suy ra dãy số (un) là dãy số giảm.
* Xét dãy số (vn) với
Ta có:
Dễ dàng ta có:
Vậy dãy số (vn) là dãy số giảm.
Câu 9: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: A
Ta có:
Với ∀ n ∈ N* ta có:
=> dãy (un) là dãy tăng.
Câu 10: Cho dãy số (un) với
A. a < 2 B. a > − 2 C. a < 4 D. a < − 4
Đáp án: D
Ta có dãy số (un) tăng khi và chỉ khi: un+1 − un > 0
Với n ∈ N* thì (2n+1) > 0 và (2n − 1) < 0 nên (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi: − a − 4 > 0 ⇔ a < − 4
Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi:
Đáp án: C
Ta có:
Mà:
Nên (un) tăng ⇔ un+1 − un > 0 ⇔ 4 − 5a < 0