Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Cách tìm vi phân của hàm số - Chuyên đề Toán 11

Cách tìm vi phân của hàm số - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b).

Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f (x) tại x ứng với số gia ∆ x.

Kí hiệu: dy=df (x)=f' (x).∆ x

⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f (x) (trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:

+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.

+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d (f (x))=f' (x).dx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3 +3x2 + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số

A. dy=3x2 + 6x+ 10

B. dy= (3x2 + 6x+ 10).dx

C. dy = (x2 + 3x+ 10).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x2 +6x+ 10

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x3+ 3x2 + 10x+ 90)= (32 + 6x+ 10).dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= √ (x2-4). Tìm dy?

IMG_0

Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x2- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x < -2.

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:


Ví dụ 3. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?

A. dy= [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx

B. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] ∆x

C. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] dx

D. dy= [2sin2x – cos (x- 3)] dx

Bài giải:

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos⁡ (x-3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;

dy= d [cos2x+ sin (x- 3)] = [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/ (2x-4)?


Bài giải:

Điều kiện: x≠2

Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là;


Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số: y= (x2-2x+3)/ (x-2)?


Bài giải:

Điều kiện xác định: x≠2

Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;


Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số: y= (x3+2x-3)2

A. dy= (x3+2x-3). (x2+2x-3).dx

B. dy= (x3+2x-3).dx

C. dy= (x3+2x-3). (3x2+2).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= (x3+2x-3)(x3+2x-3) '

⇒ y'= (x3+2x-3). (3x2+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d ((x3+2x-3)2)= (x3+2x-3). (3x2+2).dx

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số y= sin (x2 + 3x+ 1).

A. dy=cos⁡ (x2+3x+1) dx

B. dy=cos⁡ (x2+3x+1). (2x+3) dx

C. dy= -cos⁡ (x2+3x+1). (2x+3) dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=cos⁡ (x2+3x+1). (x2+3x+1)'= cos⁡ (x2+3x+1). (2x+3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (x2 + 3x+ 1)]= cos⁡ (x2+3x+1). (2x+3) dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số y= (x2 – 1). sin x.

A. dy= [2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx

B. dy= [-2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx

C. dy= [2x. sinx- (x2-1).cosx] dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số:

y'= (x2-1)'. sinx+ (x2-1). (sinx)'

⇒ y'=2x. sinx+ (x2-1).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x2 – 1). sin x= [2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số: y= (√ (x2-1)-1)(x2-2x)


Bài giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 (khi đó x2-1> 0)

Đạo hàm của hàm số đã cho là:


Ví dụ 10. Tìm dy của hàm số: y= tan (x2+ 2x). cotx.


Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là;


Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos⁡ (3x+1)


Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:


Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x-1)4-1)+x+1)


Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= -sin⁡ (√ (( x-1)4-1)+x+1). (√ (( x-1)4-1)+x+1)'


Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số y= cos (sin (2x+ 1))

A. - sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

B. -2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

C. sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

D. 2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=-sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). [sin⁡ (2x+1)]'

⇒ y'= -sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). 2cos⁡ (2x+1)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [cos (sin (2x+ 1))]= -2 sin⁡ (sin⁡ (2x+1)). cos⁡ (2x+1) dx

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số: y= [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]3

A. dy = 3. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

B. dy = [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

C. dy = 3. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. (2x+1+cos⁡ (2x- 3)) dx

D. Tất cả sai.

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]'

⇔ y'=3. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3))

Vi phân của hàm số đã cho là:

dy = 3. [x2+x+ sin⁡ (2x-3)]2. (2x+1+2 cos⁡ (2x- 3)) dx

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 15. Tìm vi phân của hàm số: y= sin4 (x2+ 2x+ 2)

A. dy= 2sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

B. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( x+1).dx

C. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

D. Đáp án khác

Bài giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 4sin3 (x2+2x+2). (x2+2x+2)'= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 16. Vi phân của hàm số y= x4 – 3x2 + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:

A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2

Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4x3-6x

⇒ y' (1)= -2

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0,1 là:

dy= y' (1).∆ x = - 2.0,1= - 0,2

Đáp án đúng là: A

Ví dụ 17. Cho hàm số; y= (x+2)/ (2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?

A. dy= - dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx

Bài giải:

Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:


Ví dụ 18. Cho hàm số y= sin (2x- π/3). Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2

A. – 0,4 B. -0,1 C. -0,2 D. 0,2

Bài giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:


C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= 2x4 +x3+ x. Tìm vi phân của hàm số

A. dy = 8x3 + 3x2+ 1

B. dy = (8x4 + 3x+ 1).dx

C. dy = (8x3 + 3x2+ 1).dx

D. Đáp án khác

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 8x3 + 3x2 + 1

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy = d (2x4 +x3 + x)= (8x3 + 3x2 + 1).dx

Chọn C.

Câu 2: Cho hàm số y= √ (x3- 2x2+1). Tìm dy?


Hàm số có đạo hàm tại các điểm x3 – 2x2 + 1 > 0

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:


Câu 3: Cho hàm số y= cos (2x- x2)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?

A. dy = [(2-2x) sin⁡ (2x- x2)+3cos⁡ (3x-5)] dx

B. dy = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x2)+3cos⁡ (3x-5)] dx

C. dy = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x2)-3cos⁡ (3x-5)] dx

D. dy= [- (2-2x) cos⁡ (2x- x2)+3cos⁡ (3x-5)] dx

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là

y'= -sin⁡ (2x- x2) (2x- x2)'+cos⁡ (3x-5). (3x-5)'

⇔ y'= - (2-2x) sin⁡ (2x- x2)+3cos⁡ (3x-5)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;

dy= d [cos (2x- x2)+ sin (3x- 5)] = [- (2-2x) sin⁡ (2x- x2)+3cos⁡ (3x-5)] dx

Chọn B.

Câu 4: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/ (x2-2x+3)?


Ta có: x2 -2x+3= (x-1)2 +2 > 0 với mọi x.

Do đó; hàm số có đạo hàm với mọi x và đạo hàm:


Câu 5: Tìm vi phân của hàm số: y= (x2+x-1)/ (x+1)?


Điều kiện xác định: x≠-1

Với x≠-1 hàm số có đạo hàm là;


Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (x4-2x2+1)3

A. dy= 3. (x4-2x2+1)2. (x3-2x).dx

B. dy= 3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x).dx

C. dy=3. (x4-2x2+1)2.dx

D. Đáp án khác

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 3 (x4-2x2+1)2 (x4-2x2+1) '

⇔ y^'=3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d ((x4-2x2+1)3)=3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x).dx

chọn B.

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin (x3 + x+ √x).


y'=cos⁡ (x3+x+√x). (x3+x+√x)'= cos⁡ (x3+x+√x). (3x2+1+1/ (2√x))

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (x3 + x+ √x)]= cos⁡ (x3+x+√x). (3x2+1+1/ (2√x)) dx

chọn A.

Câu 8: Tìm vi phân của hàm số y= (x +2). (3- sin x)

A. dy= [3- sinx – (x+2).cosx] dx B. dy= [-2sinx+ (x+2).cosx] dx

C. dy= [3- sinx + (x+2).cosx] dx D. Đáp án khác

y'= (x+2)'. ( 3- sinx)+ (x+2). (3- sinx)'

⇔ y'=1. (3-sinx)+ (x+2). (-cosx) = 3- sinx – (x+2).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d (x+ 2). (3- sin x)= [3- sinx – (x+2).cosx] dx

Chọn A.

Câu 9: Tìm vi phân của hàm số: y=√ (x+2. ) (x2-2)


Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > - 2

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'= (√ (x+2))' (x2-2)+ (√ (x+2)). ( x2-2)'


Câu 10: Tìm dy của hàm số: y= tan (2+ 2x). cot3x.


Đạo hàm của hàm số đã cho là;

y'= [tan⁡ (2+2x)]'. cot3x+tan⁡ (2+2x). (cot3x)'


Câu 11: Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos⁡4x


Đạo hàm của hàm số đã cho là:


Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x+2)3)+2x)?


+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:


Câu 13: Tìm vi phân của hàm số y= sin (sin (x2+ 2x))

A. dy= -cos⁡ (sin⁡ (x2+2x)). cos⁡ (x2+2x). (2x+2)dx

B. dy= cos⁡ (sin⁡ (x2+2x)). cos⁡ (x2+2x). (x+2).dx

C. dy= 2cos⁡ (sin⁡ (x2+2x)). sin⁡ (x2+2x). (x+1).dx

D. Đáp án khác

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y^'=cos⁡ (sin⁡ (x2+ 2x)). [sin⁡ (x2+ 2x)]'

⇔ y'= cos⁡ (sin⁡ (x2+2x)). cos⁡ (x2+2x). (2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d [sin (sin (x2+ 2x))]=cos⁡ (sin⁡ (x2+2x)). cos⁡ (x2+2x). (2x+2)dx

chọn B.

Câu 14: Tìm vi phân của hàm số: y= [x2-1+ sin⁡ (x+1)]4

A. dy =4. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. (2x-cos⁡ (x+1))dx

B. dy =- 2. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. (2x+cos⁡ (x+1))dx

C. dy =4. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. (2x+cos⁡ (x+1))dx

D. Tất cả sai

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]'

⇔ y'=4. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. (2x+cos⁡ (x+1))

Vi phân của hàm số đã cho là:

dy =4. [x2-1+ sin⁡ (x+1)]3. (2x+cos⁡ (x+1))dx

Chọn C.

Câu 15: Tìm vi phân của hàm số: y= sin3(x2+ 2√x)



Câu 16: Vi phân của hàm số y= 2x3 +2x2 + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:

A. 3,2 B. 3,4 C. 2,4 D. 1,2

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=6x2+4x

⇒ y' (-2)= 16

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= -2 và ∆ x= 0,2 là:

dy= y' (-2).∆ x = 16.0,2= 3,2

Chọn A

Câu 17: Cho hàm số; y= (2x-4)/ (x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?

A. dy= 6dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx

Tại các điểm x≠-1; hàm số có đạo hàm:

IMG_33

⇒ y' (0)= 6

⇒ Vi phân của hàm số tại x = 0 là dy= 6dx

Chọn A.

Câu 18: Cho hàm số y= sin (4x- π/4). Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1

A. – 0,4. √2 B. -0,1.√2 C. 0,2. √2 D. 0,2

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: