Cách tìm vi phân của hàm số - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b).
Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f (x) tại x ứng với số gia ∆ x.
Kí hiệu: dy=df (x)=f' (x).∆ x
⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f (x) (trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:
+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.
+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d (f (x))=f' (x).dx
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3 +3x2 + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số
A. dy=3x2 + 6x+ 10
B. dy= (3x2 + 6x+ 10).dx
C. dy = (x2 + 3x+ 10).dx
D. Đáp án khác
Bài giải:
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x2 +6x+ 10
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy=d (x3+ 3x2 + 10x+ 90)= (32 + 6x+ 10).dx
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 2. Cho hàm số y= √ (x2-4). Tìm dy?
IMG_0
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x2- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x < -2.
Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:
Ví dụ 3. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?
A. dy= [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx
B. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] ∆x
C. dy= [2sin2x+ cos (x- 3)] dx
D. dy= [2sin2x – cos (x- 3)] dx
Bài giải:
Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.
Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos (x-3)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;
dy= d [cos2x+ sin (x- 3)] = [- 2sin2x+ cos (x- 3)] dx
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/ (2x-4)?
Bài giải:
Điều kiện: x≠2
Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là;
Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số: y= (x2-2x+3)/ (x-2)?
Bài giải:
Điều kiện xác định: x≠2
Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;
Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số: y= (x3+2x-3)2
A. dy= (x3+2x-3). (x2+2x-3).dx
B. dy= (x3+2x-3).dx
C. dy= (x3+2x-3). (3x2+2).dx
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'= (x3+2x-3)(x3+2x-3) '
⇒ y'= (x3+2x-3). (3x2+2)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d ((x3+2x-3)2)= (x3+2x-3). (3x2+2).dx
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số y= sin (x2 + 3x+ 1).
A. dy=cos (x2+3x+1) dx
B. dy=cos (x2+3x+1). (2x+3) dx
C. dy= -cos (x2+3x+1). (2x+3) dx
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=cos (x2+3x+1). (x2+3x+1)'= cos (x2+3x+1). (2x+3)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d [sin (x2 + 3x+ 1)]= cos (x2+3x+1). (2x+3) dx
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số y= (x2 – 1). sin x.
A. dy= [2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx
B. dy= [-2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx
C. dy= [2x. sinx- (x2-1).cosx] dx
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số:
y'= (x2-1)'. sinx+ (x2-1). (sinx)'
⇒ y'=2x. sinx+ (x2-1).cosx
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy=d (x2 – 1). sin x= [2x. sinx+ (x2-1).cosx] dx
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số: y= (√ (x2-1)-1)(x2-2x)
Bài giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 (khi đó x2-1> 0)
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Ví dụ 10. Tìm dy của hàm số: y= tan (x2+ 2x). cotx.
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos (3x+1)
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x-1)4-1)+x+1)
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'= -sin (√ (( x-1)4-1)+x+1). (√ (( x-1)4-1)+x+1)'
Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số y= cos (sin (2x+ 1))
A. - sin (sin (2x+1)). cos (2x+1) dx
B. -2 sin (sin (2x+1)). cos (2x+1) dx
C. sin (sin (2x+1)). cos (2x+1) dx
D. 2 sin (sin (2x+1)). cos (2x+1) dx
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=-sin (sin (2x+1)). [sin (2x+1)]'
⇒ y'= -sin (sin (2x+1)). 2cos (2x+1)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d [cos (sin (2x+ 1))]= -2 sin (sin (2x+1)). cos (2x+1) dx
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số: y= [x2+x+ sin (2x-3)]3
A. dy = 3. [x2+x+ sin (2x-3)]2. (2x+1+2 cos (2x- 3)) dx
B. dy = [x2+x+ sin (2x-3)]2. (2x+1+2 cos (2x- 3)) dx
C. dy = 3. [x2+x+ sin (2x-3)]2. (2x+1+cos (2x- 3)) dx
D. Tất cả sai.
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=3. [x2+x+ sin (2x-3)]2. [x2+x+ sin (2x-3)]'
⇔ y'=3. [x2+x+ sin (2x-3)]2. (2x+1+2 cos (2x- 3))
Vi phân của hàm số đã cho là:
dy = 3. [x2+x+ sin (2x-3)]2. (2x+1+2 cos (2x- 3)) dx
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 15. Tìm vi phân của hàm số: y= sin4 (x2+ 2x+ 2)
A. dy= 2sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx
B. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( x+1).dx
C. dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx
D. Đáp án khác
Bài giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'= 4sin3 (x2+2x+2). (x2+2x+2)'= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= 4sin3 (x2+2x+2)( 2x+2).dx
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 16. Vi phân của hàm số y= x4 – 3x2 + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:
A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=4x3-6x
⇒ y' (1)= -2
⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0,1 là:
dy= y' (1).∆ x = - 2.0,1= - 0,2
Đáp án đúng là: A
Ví dụ 17. Cho hàm số; y= (x+2)/ (2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?
A. dy= - dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx
Bài giải:
Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:
Ví dụ 18. Cho hàm số y= sin (2x- π/3). Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2
A. – 0,4 B. -0,1 C. -0,2 D. 0,2
Bài giải:
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y= 2x4 +x3+ x. Tìm vi phân của hàm số
A. dy = 8x3 + 3x2+ 1
B. dy = (8x4 + 3x+ 1).dx
C. dy = (8x3 + 3x2+ 1).dx
D. Đáp án khác
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 8x3 + 3x2 + 1
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy = d (2x4 +x3 + x)= (8x3 + 3x2 + 1).dx
Chọn C.
Câu 2: Cho hàm số y= √ (x3- 2x2+1). Tìm dy?
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x3 – 2x2 + 1 > 0
Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:
Câu 3: Cho hàm số y= cos (2x- x2)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?
A. dy = [(2-2x) sin (2x- x2)+3cos (3x-5)] dx
B. dy = [- (2-2x) sin (2x- x2)+3cos (3x-5)] dx
C. dy = [- (2-2x) sin (2x- x2)-3cos (3x-5)] dx
D. dy= [- (2-2x) cos (2x- x2)+3cos (3x-5)] dx
Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.
Đạo hàm của hám số là
y'= -sin (2x- x2) (2x- x2)'+cos (3x-5). (3x-5)'
⇔ y'= - (2-2x) sin (2x- x2)+3cos (3x-5)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là;
dy= d [cos (2x- x2)+ sin (3x- 5)] = [- (2-2x) sin (2x- x2)+3cos (3x-5)] dx
Chọn B.
Câu 4: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/ (x2-2x+3)?
Ta có: x2 -2x+3= (x-1)2 +2 > 0 với mọi x.
Do đó; hàm số có đạo hàm với mọi x và đạo hàm:
Câu 5: Tìm vi phân của hàm số: y= (x2+x-1)/ (x+1)?
Điều kiện xác định: x≠-1
Với x≠-1 hàm số có đạo hàm là;
Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (x4-2x2+1)3
A. dy= 3. (x4-2x2+1)2. (x3-2x).dx
B. dy= 3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x).dx
C. dy=3. (x4-2x2+1)2.dx
D. Đáp án khác
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'= 3 (x4-2x2+1)2 (x4-2x2+1) '
⇔ y^'=3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d ((x4-2x2+1)3)=3. (x4-2x2+1)2. (4x3-4x).dx
chọn B.
Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin (x3 + x+ √x).
y'=cos (x3+x+√x). (x3+x+√x)'= cos (x3+x+√x). (3x2+1+1/ (2√x))
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d [sin (x3 + x+ √x)]= cos (x3+x+√x). (3x2+1+1/ (2√x)) dx
chọn A.
Câu 8: Tìm vi phân của hàm số y= (x +2). (3- sin x)
A. dy= [3- sinx – (x+2).cosx] dx B. dy= [-2sinx+ (x+2).cosx] dx
C. dy= [3- sinx + (x+2).cosx] dx D. Đáp án khác
y'= (x+2)'. ( 3- sinx)+ (x+2). (3- sinx)'
⇔ y'=1. (3-sinx)+ (x+2). (-cosx) = 3- sinx – (x+2).cosx
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy=d (x+ 2). (3- sin x)= [3- sinx – (x+2).cosx] dx
Chọn A.
Câu 9: Tìm vi phân của hàm số: y=√ (x+2. ) (x2-2)
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > - 2
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
y'= (√ (x+2))' (x2-2)+ (√ (x+2)). ( x2-2)'
Câu 10: Tìm dy của hàm số: y= tan (2+ 2x). cot3x.
Đạo hàm của hàm số đã cho là;
y'= [tan (2+2x)]'. cot3x+tan (2+2x). (cot3x)'
Câu 11: Tìm dy của hàm số: y= sin2x/cos4x
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos (√ (( x+2)3)+2x)?
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
Câu 13: Tìm vi phân của hàm số y= sin (sin (x2+ 2x))
A. dy= -cos (sin (x2+2x)). cos (x2+2x). (2x+2)dx
B. dy= cos (sin (x2+2x)). cos (x2+2x). (x+2).dx
C. dy= 2cos (sin (x2+2x)). sin (x2+2x). (x+1).dx
D. Đáp án khác
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y^'=cos (sin (x2+ 2x)). [sin (x2+ 2x)]'
⇔ y'= cos (sin (x2+2x)). cos (x2+2x). (2x+2)
⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:
dy= d [sin (sin (x2+ 2x))]=cos (sin (x2+2x)). cos (x2+2x). (2x+2)dx
chọn B.
Câu 14: Tìm vi phân của hàm số: y= [x2-1+ sin (x+1)]4
A. dy =4. [x2-1+ sin (x+1)]3. (2x-cos (x+1))dx
B. dy =- 2. [x2-1+ sin (x+1)]3. (2x+cos (x+1))dx
C. dy =4. [x2-1+ sin (x+1)]3. (2x+cos (x+1))dx
D. Tất cả sai
Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=4. [x2-1+ sin (x+1)]3. [x2-1+ sin (x+1)]'
⇔ y'=4. [x2-1+ sin (x+1)]3. (2x+cos (x+1))
Vi phân của hàm số đã cho là:
dy =4. [x2-1+ sin (x+1)]3. (2x+cos (x+1))dx
Chọn C.
Câu 15: Tìm vi phân của hàm số: y= sin3(x2+ 2√x)
Câu 16: Vi phân của hàm số y= 2x3 +2x2 + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:
A. 3,2 B. 3,4 C. 2,4 D. 1,2
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:
y'=6x2+4x
⇒ y' (-2)= 16
⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= -2 và ∆ x= 0,2 là:
dy= y' (-2).∆ x = 16.0,2= 3,2
Chọn A
Câu 17: Cho hàm số; y= (2x-4)/ (x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?
A. dy= 6dx B. dy= -2dx C. dy= 3dx D. dy= 4dx
Tại các điểm x≠-1; hàm số có đạo hàm:
IMG_33
⇒ y' (0)= 6
⇒ Vi phân của hàm số tại x = 0 là dy= 6dx
Chọn A.
Câu 18: Cho hàm số y= sin (4x- π/4). Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1
A. – 0,4. √2 B. -0,1.√2 C. 0,2. √2 D. 0,2
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: