Trang chủ > Lớp 11 > Chuyên đề Toán 11 (có đáp án) > Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: un = f (n). Khi đó số hạng đứng thứ k của dãy số là: uk = f (k).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = 2n + 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. u3 là số nguyên tố.

B. u5 không chia hết cho 5

C. u7 = 15

D. u8 = 18

Bài giải:

Ta xét các phương án:

+ Ta có: u3 = 2.3 + 1 = 7 là số nguyên tố => A đúng

+ u5 = 2.5 + 1 = 11 là số không chia hết cho 5. => B đúng

+ u7 = 2.7 + 1 = 15 => C đúng.

+ u8 = 2.8 + 1 = 17 => D sai

Vậy phương án sai là: D.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài giải:

Ta xét các phương án, cụ thể như sau:

+ Ba số hạng đầu tiên của dãy số là: => A sai.

+ Tổng hai số hạng đầu tiến là: => B đúng

+ Số hạng thứ 10 là: => C sai.

+ Ta có:

=> Khẳng định đúng là: B.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1 và với mọi n ≥ 2. Tìm số hạng thứ 4 của dãy số.

Bài giải:

Ta có:

Và:

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1; u2 = 2 và un = un− 1 + un− 2. Số hạng thứ 5 của dãy số là:

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Bài giải:

Ta có; u3 = u1 + u2 = 1 + 2 = 3

u4 = u2 + u3 = 2 + 3 = 5

Và u5 = u3 + u4 = 3 + 5 = 8

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi . Số hạng thứ 4 của dãy số là:

Bài giải:

Ta có:

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) biết un = n2 + n − √ n. Tính u9 − u4?

A. 75

B. 65

C. 69

D. 71

Bài giải:

+ Ta có: u9 = 92 + 9 − √ 9 = 87.

Và u4 = 42 + 4 − √ 4 = 18

=> u9 − u4 = 87 − 18 = 69

Đáp án đúng là: C

Ví dụ 7: Cho dãy số (un) với (a: hằng số). un+1 là số hạng nào sau đây?

Bài giải:

Ta có:

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) với (a: hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

Bài giải:

Ta có:

=> C sai

Vậy khẳng định C là sai.

Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi

. Xác định số hạng thứ 100 của dãy số?

Bài giải:

Ta có;

=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:

Đáp án đúng là: D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi . Viết năm số hạng đầu của dãy;

Đáp án: A

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Câu 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi: . Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

A. 2 B. 4 C. 1 D. 0

Đáp án: C

Ta có:

Do đó un nguyên khi và chỉ khi nguyên hay (n + 1) ∈ Ư (5).

Kết hợp với n nguyên dương suy ra: n + 1= 5

⇔ n= 4

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 = 7.

Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy

A. 1; 5; 13; 28; 61

B. 1; 5; 13; 29; 61

C. 1; 5; 17; 29; 61

D. 1; 5; 14; 29; 61

Đáp án: B

Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5; u3 = 2u2 + 3 = 13

u4 = 2u3 + 3 = 29 và u5 = 2u4 + 3 = 61

Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi

. Tính u48?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 5

Đáp án: A

Ta có

Câu 5: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 3 và un+1 = un + 10. Xác định số hạng thứ 50 của dãy số này?

A. 465 B. 378 C. 493 D. 452

Đáp án: C

*Ta có: u2 = 13; u3 = 23; u4 = 33.

=> Dự đoán: số hạng thứ n của dãy số là un = 3 + 10 (n − 1).

* Thật vậy; ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

+ với n = 1 ta có u1 = 3 đúng

+ Giả sử đúng với n = k; tức là uk = 3 + 10 (k − 1).

Ta chứng minh đúng với n = k + 1 tức là đi chứng minh: uk+1 = 3 + 10k.

Ta có: uk+1 = uk + 10 = 3 + 10 (k − 1) + 10 = 3 + 10k

=> điều phải chứng minh.

=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: u50 = 3 + 10 (50 − 1) = 493.

Câu 6: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 2 và un+1 = un. 5. Xác định số hạng thứ 30 của dãy số.

A. 2.515 B. 2.529 C. 2.530 D. 2.520

Đáp án: B

*Ta có: u2 = 10; u3 = 50, u4 = 250....

Dự đoán: un = 2.5n − 1

* Ta dùng quy nạp chứng minh un = 2.5n − 1

+ Với n = 1 ta có: u1 = 2.50 = 2 (đúng với n = 1).

+ Giả sử đúng với n = k, tức là; uk = 2.5k − 1

Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta chứng minh uk+1 = 2.5k

Theo giả thiết ta có: uk+1 = 5. uk = 5.2.5k− 1 = 2.5k

=> đúng với n = k + 1 => điều phải chứng minh.

* số hạng thứ 30 của dãy số là: u30 = 2.529

Câu 7: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √ (2 + un). Tìm số hạng thứ 1000 của dãy số đó?

A. 2 B. √ 8 C. √ 1000 D. √ 320

Đáp án: A

* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2..

Dự đoán: un = 2 với mọi n.

* Ta dùng quy nạp để chứng minh un = 2.

+ ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.

+ Giả sử đúng với mọi số nguyên n = k. Tức là: uk =2.

Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta đi chứng minh; uk+1 = 2.

Thật vậy ta có: uk+1 = √ (2+ uk)= √ (2+2) = 2

=> đúng với n= k + 1 (đpcm)

* Vậy un = 2 với mọi n nên u1000 = 2.

Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi . Tìm số hạng thứ 4 của dãy số?

Đáp án: A

Ta có số hạng đầu tiên của dãy số là:

Câu 9: Cho dãy số (un) xác đinh bởi:

. Tính số hạng thứ 50 của dãy số.

Đáp án: C

Ta có:

=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: