Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát: un = f (n). Khi đó số hạng đứng thứ k của dãy số là: uk = f (k).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = 2n + 1. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. u3 là số nguyên tố.
B. u5 không chia hết cho 5
C. u7 = 15
D. u8 = 18
Bài giải:
Ta xét các phương án:
+ Ta có: u3 = 2.3 + 1 = 7 là số nguyên tố => A đúng
+ u5 = 2.5 + 1 = 11 là số không chia hết cho 5. => B đúng
+ u7 = 2.7 + 1 = 15 => C đúng.
+ u8 = 2.8 + 1 = 17 => D sai
Vậy phương án sai là: D.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
Ta xét các phương án, cụ thể như sau:
+ Ba số hạng đầu tiên của dãy số là:
+ Tổng hai số hạng đầu tiến là:
+ Số hạng thứ 10 là:
+ Ta có:
=> Khẳng định đúng là: B.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1 và
Bài giải:
Ta có:
Và:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1; u2 = 2 và un = un− 1 + un− 2. Số hạng thứ 5 của dãy số là:
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Bài giải:
Ta có; u3 = u1 + u2 = 1 + 2 = 3
u4 = u2 + u3 = 2 + 3 = 5
Và u5 = u3 + u4 = 3 + 5 = 8
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi
Bài giải:
Ta có:
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) biết un = n2 + n − √ n. Tính u9 − u4?
A. 75
B. 65
C. 69
D. 71
Bài giải:
+ Ta có: u9 = 92 + 9 − √ 9 = 87.
Và u4 = 42 + 4 − √ 4 = 18
=> u9 − u4 = 87 − 18 = 69
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
Ta có:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
Ta có:
Và
=> C sai
Vậy khẳng định C là sai.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) được xác định bởi
Bài giải:
Ta có;
=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:
Đáp án đúng là: D.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi
Đáp án: A
Ta có năm số hạng đầu của dãy
Câu 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi:
A. 2 B. 4 C. 1 D. 0
Đáp án: C
Ta có:
Do đó un nguyên khi và chỉ khi
Kết hợp với n nguyên dương suy ra: n + 1= 5
⇔ n= 4
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4 = 7.
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. 1; 5; 13; 28; 61
B. 1; 5; 13; 29; 61
C. 1; 5; 17; 29; 61
D. 1; 5; 14; 29; 61
Đáp án: B
Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5; u3 = 2u2 + 3 = 13
u4 = 2u3 + 3 = 29 và u5 = 2u4 + 3 = 61
Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi
A. 6 B. 7 C. 8 D. 5
Đáp án: A
Ta có
Câu 5: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 3 và un+1 = un + 10. Xác định số hạng thứ 50 của dãy số này?
A. 465 B. 378 C. 493 D. 452
Đáp án: C
*Ta có: u2 = 13; u3 = 23; u4 = 33.
=> Dự đoán: số hạng thứ n của dãy số là un = 3 + 10 (n − 1).
* Thật vậy; ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
+ với n = 1 ta có u1 = 3 đúng
+ Giả sử đúng với n = k; tức là uk = 3 + 10 (k − 1).
Ta chứng minh đúng với n = k + 1 tức là đi chứng minh: uk+1 = 3 + 10k.
Ta có: uk+1 = uk + 10 = 3 + 10 (k − 1) + 10 = 3 + 10k
=> điều phải chứng minh.
=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: u50 = 3 + 10 (50 − 1) = 493.
Câu 6: Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 2 và un+1 = un. 5. Xác định số hạng thứ 30 của dãy số.
A. 2.515 B. 2.529 C. 2.530 D. 2.520
Đáp án: B
*Ta có: u2 = 10; u3 = 50, u4 = 250....
Dự đoán: un = 2.5n − 1
* Ta dùng quy nạp chứng minh un = 2.5n − 1
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2.50 = 2 (đúng với n = 1).
+ Giả sử đúng với n = k, tức là; uk = 2.5k − 1
Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta chứng minh uk+1 = 2.5k
Theo giả thiết ta có: uk+1 = 5. uk = 5.2.5k− 1 = 2.5k
=> đúng với n = k + 1 => điều phải chứng minh.
* số hạng thứ 30 của dãy số là: u30 = 2.529
Câu 7: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √ (2 + un). Tìm số hạng thứ 1000 của dãy số đó?
A. 2 B. √ 8 C. √ 1000 D. √ 320
Đáp án: A
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2..
Dự đoán: un = 2 với mọi n.
* Ta dùng quy nạp để chứng minh un = 2.
+ ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với mọi số nguyên n = k. Tức là: uk =2.
Ta chứng minh đúng với n = k + 1. Tức là ta đi chứng minh; uk+1 = 2.
Thật vậy ta có: uk+1 = √ (2+ uk)= √ (2+2) = 2
=> đúng với n= k + 1 (đpcm)
* Vậy un = 2 với mọi n nên u1000 = 2.
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi
Đáp án: A
Ta có số hạng đầu tiên của dãy số là:
Câu 9: Cho dãy số (un) xác đinh bởi:
Đáp án: C
Ta có:
=> Số hạng thứ 50 của dãy số là: