Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Dãy số (un) là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 − un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1; công sai d. Khi đó, số hạng thứ n của cấp số cộng là: un = u1 + (n− 1)d
+ Nếu biết số hạng thứ n và thứ m của dãy ta suy ra:
Giải hệ phương trình trên ta tìm được u1 và công sai d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho một cấp số cộng có u1 = − 1 và u5 = 11. Tìm công sai của cấp số cộng?
A. d = 3
B. d = 5
C. d = 4
D. d = 2
Bài giải:
Ta có: u5 = u1 + (5 − 1)d
=> 11 = − 1 + 4d
⇔ d = 3
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có u1 = 10; u7 = − 8. Tìm công sai d?
A. d= − 2
B. d = − 3
C. d = 2
D. d = 3
Bài giải:
Ta có: u7 = u1 + (7− 1)d
=> − 8 = 10 + 6d
=> − 18 = 6d
=> d = − 3
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:
A. 1,6
B. 1,4
C. 10,4
D. 9,4
Bài giải:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: un = u1 + (n − 1) d
=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = 0,4 + (10 − 1). 1 = 9,4
Đáp án đúng là: D.
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) có u1 = − 2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn un < 11.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Bài giải:
Cấp số cộng có u1 = − 2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
un = u1 + (n − 1). d = − 2 + 3 (n − 1) = 3n − 5
Để un < 11 thì 3n − 5 < 11
Mà n nguyên dương nên n ∈ {1,2,3,4,5}
Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện
Chọn C.
Ví dụ 5: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.
A. 36 B. 28 C. 32 D. 30
Bài giải:
Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:
u1 = 2 và u5 = 22.
+ Lại có: u5 = u1 + (5 − 1) d nên 22 = 2 + 4d
⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5
+Suy ra: u2 = u1 + d = 2 + 5= 7
u3 = u1 + 2d = 2 + 2.5 = 12
Và u4 = u1 + 3d = 2 + 3.5 = 17
=> u2 + u3 +u4 = 7 + 12 + 17 = 36
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) với un = 7 − 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy u1 = 5; u2 = 3 và u3 = 1.
B. Số hạng thứ n + 1 là un+1 = 8 − 2n.
C. Là cấp số cộng có d = − 2.
D. Số hạng thứ 4: u4 = − 1.
Bài giải:
* Ta có:
=> đáp án A, D đúng.
*Số hạng thứ n+1 là: un + 1 = 7 − 2 (n+1) = 5 − 2n
=> B sai.
* Xét hiệu: un+1 − un = (5− 2n) − (7 − 2n)= − 2
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = − 2.
=> C đúng.
Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (un) có u3 = − 15 và u14 = 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = − 21; d = 3 B. u1 = − 20; d = 2
C. u1 = − 21; d = − 3 D. u1 = − 20; d = − 2
Bài giải:
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Chọn A.
Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:
A. 39 B. 27
C. 36 D. 42
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = u1 + 9d = 3 + 9.4 = 39
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:
A. 99 B. 100
C. 101 D. 103
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
Ta có: 301 = 1 + (n − 1). 3 ⇔ 300 = 3 (n-1)
⇔ n − 1 = 100 ⇔ n = 101
Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn
A. 8 B. 10
C. 6 D. 12
Bài giải:
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) suy ra: u1 = 8 − 5d thay vào (2) ta được:
Với
Số hạng thứ 6 là:
Với d = 2 => u1 = − 2
Số hạng thứ 6: u6 = − 2 + 5.2 = 8
Chọn A.
Ví dụ 11: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn điều kiện:
A. d = ± 1 B. d = ± 2 C. d = ± 3 D. d = ± 4
Bài giải:
Theo đề bài ta có:
Từ (1) suy ra: u1 + 2d = 4 ⇔ u1 = 4 − 2d thế vào (2) ta được:
* Với d = 3 => u1 = 4 − 6 = − 2
* Với d = − 3 => u1 = 4 + 6 = 10
Chọn C.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho cấp số cộng (un) có u4 = − 20; u19 = 55. Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = − 35; d = 5
B. u1 = − 35; d = − 5
C. u1 = 35; d = 5
D. u1 = 35; d = − 5
Đáp án: A
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Câu 2: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn:
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có:
=> Số hạng thứ hai của cấp số cộng là:
u2 = u1 + d = 3 + 4 = 7
Câu 3: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn:
A. 67
B. 75
C. 87
D. 91
Đáp án: C
Theo giả thiết ta có:
Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là: u20 = u1 + 19d = 87
Câu 4: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng − 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
A. 0; − 3; − 6
B. − 2; − 3; − 4
C. − 1; − 2; − 3
D. − 3; − 2; − 1
Đáp án: B
Gọi ba số hạng của cấp số cộng là a − 2d; a; a + 2d
Theo giả thiết ta có:
+ Nếu
+ Nếu
Câu 5: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn
A. u1 = 3; d= 1
B. u1 = 3; d = 2
C. u1 = 2; d = 3
D. u1 = 2; d = − 3
Đáp án: B
Theo giả thiết
Vậy u1 = 3 và d = 2.
Câu 6: Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0 và
A. un = 3n − 9
B. un = 3n − 42
C. un = 3n − 67
D. un = 3n − 92
Đáp án: D
Ta có:
Từ (1) suy ra: u31 = 11 − u34 thế vào (2) ta được:
+ Mà công sai d > 0 nên u34 > u31
=> u34 = 10 và u31 = 1
Suy ra:
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:
un = u1 + (n-1)d= − 89 + 3 (n-1) = 3n - 92
Câu 7: Cho cấp số cộng (un) có u2 + u3 = 20; u5 + u7 = − 29. Tìm u1; d?
A. u1 = 20; d = 7
B. u1 = 20; d = 7
C. u1 = 20,5; d = − 7
D. u1 = − 20,5; d= 7
Đáp án: C
Áp dụng công thức un = u1 + (n - 1)d ta có:
Câu 8: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Tính tổng số đo của góc có số đo lớn nhất và góc có số đo nhỏ nhất.
A. 1400
B. 1200
C. 1350
D. 1500
Đáp án: B
Do số đo ba góc A; B; C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.
Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên: A + B + C = 180
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình:
Suy ra; tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 1200
Câu 9: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có:
Câu 10: Cho (un) là cấp số cộng, u1; u2; u3 là 3 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn:
A. 15
B. 20
C. 21
D. 18
Đáp án: A
Gọi 3 số cần tìm là: u1 = a − d; u2 = a; u3 = a + d
Theo giả thiết ta có:
Với d = 2 thì 3 số cần tìm là 1; 3; 5
Với d = − 2 thì 3 số cần tìm là 5; 3; 1.
Trong cả 2 trường hợp thì tích của 3 số đó là 15
Câu 11: Cho dãy số (un) là cấp số cộng thỏa mãn:
A. 3 hoặc − 1
B. 2 hoặc − 2.
C. 2 hoặc − 3
D. − 2 hoặc 1.
Đáp án: A
Theo giả thiết ta có:
Từ (1) suy ra: 2u1 + 4d = 2 ⇔ u1 + 2d = 1 ⇔ u1 = 1 − 2d thay vào (2) ta được:
Đặt t= d2 khi đó phương trình (*) trở thành:
+ Với t = 4 => d2 = 4 ⇔ d = ± 2
* Với d = 2 => u1 = − 3. Khi đó u4 = u1 + 3d = 3.
* Với d = − 2 => u1 = 5. Khi đó u4 = u1 + 3d = − 1.
Vậy số hạng thứ 4 của cấp số cộng là 3 hoặc − 1.
Câu 12: Cho 2 cấp số cộng: 5; 8; 11; ..... và 3; 7; 11,.... Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số; có bao nhiêu số hạng chung?
A. 23
B. 24
C. 25
D. Tất cả sai
Đáp án: C
Giả sử un là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất: un = 5 + 3 (n − 1) và vm = 3 + (m − 1). 4 là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.
un = vm khi và chỉ khi:
Đặt
Vì m; n không lớn hơn 100 nên:
Kết hợp với t là số nguyên dương nên
Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy (un); (vm).