Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay - Chuyên đề Toán 11

A. Phương pháp giải

+ Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁; công bội q. Khi đó, số hạng thứ k của cấp số nhân là: u_k = u₁. q^{k − 1}

+ Với n > m ta có: u_n = u_m. q^n-m

+ Với a ≠ 1 ta có:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2 và u₇ = 128. Tìm q.

A. q = 2

B. q = - 2

C. q = ± 3

D. q = ± 2

Bài giải:

Ta có:

Vậy q = 2 hoặc q = − 2

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15,95,275

B. 15,75,375

C. 75,375,1975

D. Đáp án khác

Bài giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?

Bài giải:

Ta có:

Khi đó;

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0?

Bài giải:

Ta có:

Khi đó:

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và u₈ = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Bài giải:

Ta có: u₈ = u₁. q₇ nên

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; u_n = 3.2^n-1.

Ta có:

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Đáp án đúng là: A.

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (u_n) với . Số 222 là số hạng thứ mấy của (u_n)?

Bài giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

Xét phương trình:

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Đáp án đúng là: D.

Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số hạng đầu tiên có dạng trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u₁ ≠ 0) ta được:

Thay vào (1) suy ra:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 7: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm u1 biết

Bài giải:

Ta có:

Từ (1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Thay vào (1) ta tìm được u₁ = 1 hoặc u₁ = 8.

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 8: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn: . Tìm u₁ và q?

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Đặt: . Điều kiện |t| ≥ 2

Với:

Nếu:

Nếu:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và u₁ q ≠ 0 suy ra:

Từ (2) suy ra:

Đáp án đúng là: B.

Ví dụ 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Bài giải:

Theo giả thiết ta có:

Đáp án đúng là: C.

Ví dụ 11: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Bài giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó, ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = 160 và số hạng thứ 6 là u₆ = 5.

Suy ra:

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u₂ = 80; u₃ = 40; u₄ = 20 và u₅ = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Đáp án đúng là: C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi . Chọn mệnh đề đúng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

+ Ta có:

không đổi

=> (u_n) là cấp số nhân có công bội

.

+ Dãy số (u_n) có số hạng tổng quát là:

+Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

=> B đúng

Câu 2: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn: u₂ = 4 và u₃ = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

Câu 3: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Theo đầu bài ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được (u₁ ≠ 0)

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là: u₆ = u₁. q₅ = 3.25 = 96

Câu 4: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Nếu ta viết thêm 4 số nữa vào giữa hai số 243 và 1 thì ta được cấp số nhân có 6 số hạng trong đó số hạng đầu tiên là: u1 = 243 và số hạng thứ 6 là u₆ = 1.

Suy ra:

Do đó; u₂ = 81; u₃ = 27; u₄ = 9 và u₅ = 3.

Tổng bốn số cần tìm là: 81+ 27+ 9+ 3= 120.

Câu 5: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là u1; u2; u3 với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Thay

vào (*) được:

Với

Với

Câu 6: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm công bội biết:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế ta được:

Câu 7: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn . Trên khoảng có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

* Trước tiên; ta đi tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó từ giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) chia vế ta được:

+ Với

. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Để số hạng thứ n thuộc khoảng

thì:

⇔ n= 3 nên có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

+ Với

. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Để số hạng thứ n thuộc khoảng thì:

⇔ n= 3 nên có một số hạng của dãy thỏa mãn.

Như vậy trong cả 2 trường hợp chỉ có 1 số hạng của dãy thỏa mãn.

Câu 8: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn biết u_i > 0. Tính công bội q?

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Theo giả thiết ta có:

Từ (2)

(vì u_i > 0)

thay vào (1) ta được:

Với q = 2 thì

Với

thì u₁ = 20.

Câu 9: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Ta có:

Lấy (2) chia (1) vế chia vế ta được:

+ Với q = 2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

+ Với q = − 2 thay vào (2) ta được u₁ = 5.

Như vậy; trong cả hai trường hợp ta có: u₁ = 5.

Câu 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Chia cả hai vế của phương trình trên cho q² ≠ 0 ta được:

Đặt

. Điều kiện: |t| ≥ 2.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

Với

với

với

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số nhân là 5 hoặc 160.

Bài trước: Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11 Bài tiếp: Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11