Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
• Nếu un có dạng un = a1 + a2 +... + ak +.. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un.
• Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2;... ). Từ đó, dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra, ta cũng có thể tính hiệu như sau: un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 4n
B. un = 2n+ 2
C. un = 2n+ 5
D. un = 4n+ 2
Bài giải:
Ta có:
4 = 4.1
8 = 4.2
12 = 4.3
16 = 4.4
20 = 4.5
24 = 4.6
=> Số hạng tổng quát un = 4n.
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8; 15; 22; 29; 36;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. un = 7n + 7.
B. un = 7n.
C. un = 7n + 1.
D. un: Không viết được dưới dạng công thức.
Bài giải:
Ta có:
8 = 7.1 + 1
15 = 7.2 + 1
22 = 7.3 + 1
29 = 7.4 + 1
36 = 7.5 + 1
Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1.
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
Bài giải:
Ta có:
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là:
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760
Bài giải:
Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d
Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53
=> hệ phương trình:
Giải hệ trên ta tìm được: a = 1; b = 0; c = − 3 và d = 1.
Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1
Số hạng thứ 10: u10 = 971.
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
Bài giải:
Ta thấy:
=> Số hạng thứ n là:
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho
Bài giải:
Ta có:
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. un = − 2n. B. un = − 2 + n. C. un = − 2 (n+ 1). D. un = − 2 + 2 (n − 1)
Bài giải:
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (− 2) nên
un = − 2 + 2 (n − 1).
chọn D.
Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:
Bài giải:
Ta có;
=> Số hạng thứ n của dãy số là:
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với
Bài giải:
Ta có:
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với
A. un = 1 + n B. un = n (n + 1) C. un = 1 + (− 1)2n. D. un = n
Bài giải:
* Ta có: un+1 = un + (− 1)2n = un + 1 (vì (− 1)2n = ((− 1)2)n = 1
=> u2 = 2; u3 = 3; u4 = 4; ...
Dễ dàng dự đoán được: un= n.
Thật vậy, ta chứng minh được: un = n bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.
+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k (k ∈ N*), ta có uk = k.
Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1
Vậy (*) đúng với mọi n.
Chọn D.
Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với
A. un = 2 − n B. không xác định.
C. un = 1 − n. D. un = − n với mọi n.
Bài giải:
+ Ta có: u2 = 0; u3 = − 1; u4 = − 2...
Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n.
+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u1 = 1 (đúng)
Giả sử với mọi n = k (k ∈ N*) thì uk = 2 − k.
Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1)
Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (− 1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)
=> điều phải chứng minh.
Ví dụ 12: Cho dãy số (un) với
A. un = nn− 1. B. un = 2n.
C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1
Bài giải:
+ Ta có:
Hay un = 2n (vì u1 = 2)
Chọn B.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 1; 1; − 1; 1; − 1; 1; ... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. un = 1
B. un = − 1
C. un = (− 1)n
D. un = (− 1)n+1
Đáp án: C
Ta có thể viết lại các số hạng của dãy như sau:
(− 1)1; (− 1)2; (− 1)3; (− 1)4; (− 1)5; (− 1)6
=> Số hạng tổng quát của dãy số là un = (− 1)n
Câu 2: Cho dãy số (un) với
Đáp án: C
Ta có:
Áp dụng công thức:
Câu 3: Cho dãy số (un) với
A. un = 2 + (n− 1)2.
B. un = 2 + n2.
C. un = 2 + (n+1)2.
D. un = 2 − (n− 1)2.
Đáp án: A
Ta có: un+1 − un = 2n − 1 suy ra: un+1 = un + 2n − 1
Theo đầu bài:
Áp dụng công thức: 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n − 3) = (n− 1)2 (chứng minh bằng phương pháp quy nạp)
=> un = u1 + (n− 1)2 = 2 + (n − 1)2
Câu 4: Cho dãy số (un) với
Đáp án: C
+ Ta có:
Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số là:
+ Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp:
+ Ta có:
Giả sử đúng với n = k (k ∈ N*); tức là:
Ta chứng minh đúng với n= k+ 1; tức là chứng minh:
Thật vậy ta có:
Vậy
Câu 5: Cho dãy số (un) với
Đáp án: B
+ Ta có:
Hay
Câu 6: Cho dãy số (un) với
Đáp án: D
+ Ta có:
Câu 7: Cho
Đáp án: A
+ Ta có:
Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi:
A. un = 3 + 5n
B. un = 3 + 5. (n+1)
C. un = 5. (n− 1)
D. un = 3 + 5. (n− 1)
Đáp án: D
Ta có:
u2 = u1 + 5 = 8
u3 = u2 + 5 = 13
u4 = u3 + 5 = 18
u5 = u4 + 5 = 23
Từ các số hạng đầu, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un = 3 + 5. (n− 1) (*) n ≥ 2
+ Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.
Với n = 2; u2 = 3+ 5. (2− 1) = 8 (đúng). Vậy (*) đúng với n = 2
+Giả sử (*) đúng với n = k. Có nghĩa là: uk = 3+ 5 (k− 1) (1)
Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+ 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:
uk+1 = 3 + 5k
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có:
uk+1 = uk + 5 = 3 + 5 (k − 1) + 5 = 3 + 5k
Vậy (*) đúng khi n = k+ 1.
Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
Câu 9: Dãy số (un) được xác định bằng công thức:
A. 24502861
B. 24502501
C. 27202501
D. 24547501
Đáp án: B
+ Trước tiên; ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số.
+ Ta có: un+1 = un + n3 => un+1 − un = n3
Từ đó suy ra:
+ Cộng từng vế n đẳng thức trên:
+Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:
Vậy số hạng tổng quát là:
=> Số hạng thứ 100 của dãy số là:
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?
A. 3.510
B. 2.519
C. 2.520
D. 3.520
Đáp án: B
Để tính số hạng thứ 20 của dãy số; ta đi tìm công thức xác định số hạng un
+ Ta có: u2 = 10; u3 = 50; u4 = 250; u5 = 1250; u6 = 6250
+Ta dự đoán: un = 2.5n− 1 (1) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n = 1 ta có: u1 = 2.50 = 2 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N*). Có nghĩa là ta có: uk = 2.5k− 1
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1
Có nghĩa ta phải chứng minh: uk+1 = 2.5k
Từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có:
uk+1 = 5uk = 2.5k− 1. 5= 2.5k (đpcm).
=> Số hạng thứ n của dãy số xác định bởi: un = 2.5n− 1
=> Số hạng thứ 20 của dãy số là: u20 = 2.519.
Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √ (1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Đáp án: A
Để tính số hạng thứ 30 của dãy số ta đi tìm công thức xác định số hạng thứ n của dãy số>
+ Ta có:
Ta dự đoán: un = √ (n+8) (1). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:
+ Với n = 1 có u1 = √ (1+8) = 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*, có nghĩa ta có uk = √ (k+8) (2).
Ta cần chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh:
uk + 1 = √ (k+9)
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:
Vậy (1) đúng với n = k + 1.
Kết luận số hạng tổng quát của dãy số là: un = √ (n+8).
Số hạng thứ 28 của dãy số là: u28= √ (28+8) = 6.