Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
Cách 1. Chứng minh ∀ n ≥ 1; un+1 = un q. Trong đó, q là một số không đổi.
Cách 2. Nếu un ≠ 0 với mọi n thì ta lập tỉ số
T là hằng số thì (un) là cấp số nhân có công bội q = T.
T phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số nhân.
Cách 3. Chỉ ra tồn tại số k ≥ 2 sao cho:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = 22n+1. Chứng minh (un) là cấp số nhân
Bài giải:
Ta có:
Xét tỉ số:
=> Dãy số (un) là cấp số nhân với công bội q = 4.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = (-1)n. (-3)n+1. Chứng minh (un) là cấp số nhân.
Bài giải:
Ta có:
Xét tỉ số:
=> Dãy số (un) là cấp số nhân với công bội q = 3.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
Bài giải:
Ta có:
Xét tỉ số:
=> Dãy số (un) không là cấp số nhân.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 10. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số nhân.
Bài giải:
Ta có:
=> dãy số (un) không là cấp số nhân.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi
Bài giải:
* Ta có:
* Do đó có: u1 = u3 = u5 =... = u2n+ 1 =... (1)
Và u2 = u4 = u6 =... = u2n =... (2)
Theo đề bài có:
Từ (1), (2), (3) suy ra u1 = u2 = u3 =... = u2n = u2n+ 1 =....
Kết luận (un) là cấp số nhân với công bội q = 1.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) được xác định bởi un = 30. Chứng minh rằng (un) là cấp số nhân.
Bài giải:
Ta có:
=> (un) là cấp số nhân với q = 1.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) xác định bởi
Bài giải:
Ta có:
Xét tỉ số:
=> dãy số (un) là cấp số nhân với
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho dãy số (un):
Ta có:
Và
=> dãy số trên là cấp số nhân với
Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi:
Ta có:
Xét tỉ số
=> (un) là cấp số nhân.
Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = 10n + 10. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số nhân.
Ta có:
Xét tỉ số:
=> Dãy số (un) không là cấp số nhân.
Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi
Ta có:
Xét tỉ số:
=> (un) là cấp số nhân.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác định bởi: un= n. 2n. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số nhân.
Ta có;
Xét tỉ số:
=> Dãy số (un) không là cấp số nhân.
Câu 6: Cho dãy số (un) được xác định bởi
Ta có: vn = un+ 3 (1) nên vn+1 = un+1 + 3 (2).
Theo đề bài: un+1 = 4un + 9 => un+1 + 3 = 4un + 9 + 3 = 4 (un + 3) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) được: vn+1 = 4vn ∀ n ≥ 1
Kết luận (vn) là cấp số nhân với công bội q = 4 và số hạng đầu v1 = u1 + 3 = 5.
Câu 7: Cho dãy số (un) xác định bởi
Ta có:
Suy ra dãy số (un) đã cho không là cấp số nhân.