Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
* Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét: A = un+1 − un
Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng.
* Ngoài ra, để chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra, tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk− 1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng
Bài giải:
Ta có: un+1 = 17 (n + 1) + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.
Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cấp số cộng.
Bài giải:
Ta có: un+1 = 10 − 5 (n+1)= 5 − 5n.
Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = − 5
=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = − 5.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Bài giải:
Ta có: un+1 = 2n+1 + 3
Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n
=> (un+1 − un) không phải là hằng số; phụ thuộc vào n => Dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với:
Bài giải:
Ta có:
Xét hiệu:
=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n, vì vậy dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) với un = n2 + 2n + 2. Chứng minh (un) không là cấp số cộng.
Bài giải:
Ta có: un+1 = (n + 1)2 + 2 (n + 1) + 2 = n2 + 4n + 5
Xét hiệu: un+1 − un = (n2 + 4n + 5) − (n2 + 2n + 2) = 2n + 3
=> Hiệu (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n => (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 5: Cho dãy số (un) với un = 10. Chứng minh (un) là cấp số cộng.
Bài giải:
Ta có: un+1 = 10
Xét hiệu: un+1 − un = 10 − 10 = 0
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = 0
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) có
Bài giải:
Ta có
=> u3 − u2 ≠ u2 − u1 nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) có
Bài giải:
Ta có:
=> Dãy số trên không phải cấp số cộng.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) xác định bởi
Bài giải:
Ta có:
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2
T => dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1= √ (2 + un). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
Bài giải:
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀ n ∈ N*.
* Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n= k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: uk+1 = √ (2 + uk) = √ (2+2) = 2
=> Đúng với n = k + 1 => đpcm.
Vậy với mọi n ta có: un = un+1 nên un+1 − un = 0.
=> Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Chứng minh dãy số (un) với un = − 13n + 27 là cấp số cộng
Ta có: un+1 = − 13 (n + 1) + 27 = − 13n + 14
=> Hiệu: un+1 − un = (− 13n + 14) − (− 13n + 27) = − 13
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = − 13.
Câu 2: Chứng minh dãy số (un) với un = − 3 − 8n là cấp số cộng.
Ta có: un+1 = − 3 − 8 (n+1) = − 11 − 8n
Xét hiệu: un+1 − un = (− 11 − 8n) − (− 3 − 8n) = − 8
=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = − 8.
Câu 3: Cho dãy số (un) với un = 3. (− 4)n − 8. CMR: Dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Ta có: un+1 = 3. (− 4)n+1 − 8
Xét hiệu: un+1 − un = [3. (− 4)n+1 − 8] − [3. (− 4)n − 8] = 3. (− 4)n+1 − 3. (− 4)n
=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 4: Cho dãy số (un) với
Ta có:
Xét hiệu:
=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 5: Cho dãy số (un) với un = − 2n2 + n + 1. CMR: (un) không là cấp số cộng
Ta có: un+1 = − 2 (n+1)2 + (n+1) + 1= − 2n2 − 3n
Xét hiệu: un + 1 − un = (− 2n2 − 3n) − (− 2n2 + n + 1) = − 4n − 1
=> Hiệu (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên (un) không là cấp số cộng.
Câu 6: Cho dãy số (un) với un = − 2n2 + n + 1. CMR: (un) không là cấp số cộng
Ta có: un+1 = − 1010
Xét hiệu: un+1 − un = − 1010 − (− 1010) = 0
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = 0
Câu 7: Cho dãy số (un) có:
Ta có
=> u3 − u2 ≠ u2 − u1 nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
Câu 8: Cho dãy số (un) có
Ta có
=> dãy số trên không phải cấp số cộng.
Câu 9: Cho dãy số (un) có
Ta có:
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2
=> dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √ (3un − 2). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀ n ∈ N*.
* Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n = k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: uk+1 = √ (3uk − 2) = √ (3.2 − 2) = 2
=> Đúng với n = k+ 1, ta có đpcm.
Vậy với mọi n ta có: un = un+1 nên un+1 − un = 0.
=> Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d= 0.