Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 đường thẳng đồng quy - Chuyên đề Toán 11
A. Phương pháp giải
+ Để chứng minh 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng ta có thể chứng minh 2 đường thẳng AB và CD song song hoặc cắt nhau.
+ Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh 3 đường thẳng đó là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt hoặc tìm giao điểm của 2 đường thẳng và chứng minh điểm đó thuộc đường thẳng còn lại.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M; N; P; Q, R; T lần lượt là trung điểm AC; BD, BC; CD; SA và SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. M; P; R; T
B. M; Q; T; R
C. M; N; R; T
D. P; Q; R; T
Bài giải:
+ Ta có RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (1)
+ MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ // AD (2)
Từ (1) và (2) => RT // MQ
=> 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng
Đáp án đúng là: B
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ME; NF; SO đôi một song song (O là giao điểm của AC)
B. ME; NF; SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD)
C. ME; NF; SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD)
D. ME; NF; SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD)
Bài giải:
+ Trong (SAC); gọi I = ME ∩ SO
+ Xét tam giác SAC có: ME là đường trung bình nên ME // AC
⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA
⇒ I là trung điểm của SO
Suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
⇒ FI // OD (1)
+ Tương tự ta có NI // OB (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF
Vậy ME; NF; SO đồng quy
Khẳng định sai là: C.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M; N: P; Q; R; S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. P; Q; R; S
B. M; N; R; S
C. M; N; P; Q
D. M; P; R; S
Bài giải:
+ Do PQ là đường trung bình của tam giác ABD nên PQ // BD
+ Tương tự, ta có: RS // BD
Vậy PQ // RS nên 4 điểm P; Q; R; S cùng nằm trên một mặt phẳng.
=> Các điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S đều không đồng phẳng
Chọn đáp án: A
Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA; SB; SC; SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng
B. Bốn điểm M; N; E; F không đồng phẳng
C. MN, EF chéo nhau.
D. Cả A, B, C đều sai
Bài giải:
+ Trong mặt phẳng (SAC); gọi I = ME ∩ SO.
+ Xét tam giác SAC có ME là đường trung bình nên ME // AC.
⇒ MI // AO và M là trung điểm của SA
⇒ I là trung điểm của SO
Suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
⇒ FI // OD. (1)
+ Tương tự ta có NI // OB (2)
Từ (1) và (2) => 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF
Do ME ∩ NF = I nên ME và NF xác định một mặt phẳng.
Suy ra 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng
=> Khẳng đinh A là đúng.
Ví dụ 5: Cho hình chóp A. BCD; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABC. Tìm mệnh đề đúng?
A. MN và G1G2 chéo nhau
B. G1, G2, M, N đồng phẳng
C. G2M và G1N chéo nhau
D. Tất cả sai
Bài giải:
+ Xét tam giác AMN ta có:
(AG1)/AM = (AG2)/AN = 2/3 (tính chất trọng tâm tam giác)
⇒ MN // G1G2
Do đó 4 điểm M, N, G1, G2 đồng phẳng và 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau.
Mệnh đề đúng là: B
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có M; N lần lượt thuộc AB; DB sao cho MN // AD. Gọi I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mặt phẳng (CNM) và mặt phẳng (AID). Tìm mệnh đề sai?
A. HK // AD
B. HK // MN
C. K; H; N; M đồng phẳng
D. A hoặc B sai
Bài giải:
+ Xét hai mặt phẳng (CNM) và mặt phẳng (AID) có:
⇒ HK // AD // MN (hệ quả)
+ Do HK // NM nên 4 điểm H; K; N; M đồng phẳng
Mệnh đề sai là: D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD và 3 điểm P; Q và R lần lượt nằm trên 3 cạnh AB; CD và BC. Biết PR cắt AC tại I. Xác định giao điểm S của mặt phẳng (PQR) với cạnh AD.
A. Là giao điểm của QI và AC
B. Là giao điểm của QI và AD
C. Là giao điểm của RI và AD
D. Là giao điểm của PI và AD
Bài giải:
+ Xét giao tuyến của 3 mặt phẳng (ABC); mặt phẳng (ACD) và (PQR):
(ABC) ∩ (ACD) = AC
(ABC) ∩ (PQR) = PR
(ACD) ∩ (PQR) = d.
Trong đó: d đi qua Q ⇒ Ba mặt phẳng (ABC); mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (PQR) cắt nhau theo 3 giao tuyến là AC; PR và d.
Lại có: PR ∩ AC = I
⇒ Ba đường thẳng AC; PR và d đồng quy tại I.
⇒ Đường thẳng d là đường thẳng QI.
+ Khi đó, giao điểm của QI và AD chính là điểm S cần tìm.
Chọn đáp án: B
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. G; J; A; B
B. A; B; M; N
C. G; J; M; N
D. M; N; K; J
Bài giải:
+ Gọi K là trung điểm của CD.
+ Do G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD.
⇒ KG/KB = KJ/KA = 1/3
⇒ GJ // AB (định lí Ta-let đảo) (1)
+ Xét ∆ ABC có M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC
⇒ MN là đường trung bình của ∆ ABC
⇒ MN // AB (2)
Từ (1) và (2) => GJ // AB // MN
⇒ Bốn điểm G; J; A; B đồng phẳng
Bốn điểm G; J; M; N đồng phẳng
Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng
Ví dụ 9: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề sai?
A. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng
B. Ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui
C. MN // EF
D. Có đúng hai mệnh đề đúng
Bài giải:
Gọi M’; N’; E’; F’ lần lượt là trung điểm các cạnh AB; BC; CD và DA
+ Ta có SM/SM' = 2/3, SN/SN' = 2/3 ⇒ SM/SM' = SN/SN'
⇒ MN // M’N’ (định lí Ta let đảo) (1)
+ Tương tự SE/SE' = SF/SF' ⇒ EF || E'F' (2)
+ Lại có
Từ (1); (2) và (3) suy ra MN // EF
Vậy 4 điểm M; N; E và F đồng phẳng.
+ Dễ thấy M’N’E’F’ cũng là hình bình hành và O = M'E' ∩ N'F'
Xét ba mặt phẳng (M'SE'), (N'SF') và (MNEF) ta có:
(M'SE') ∩ (N'SF') = SO
(M'SE') ∩ (MNEF) = ME
(N'SF') ∩ (MNEF) = NF
ME ∩ NF = I.
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui
⇒ A; B, C đúng; D sai
=> Mệnh đề sai là: D
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm AC; BD, BC, CD, SA, SD. Tìm mệnh đề sai?
A. 4 điểm R, T, Q, M đồng phẳng
B. RQ và TM cắt nhau
C. PN // CD
D. RM và TQ cắt nhau
Chọn D
+ Ta có RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD
+ MQ là đường trung bình của tam giác ACD nên MQ // AD
Suy ra: RT // MQ (1)
+ Chứng minh tương tự RM // TQ // SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: RTQM là hình bình hành; hai đường chéo RQ và TM cắt nhau.
Câu 2: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi M; M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’; gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. A; G; G’, C’ B. A, G, M’, B’ C. A’, G’, M, C D. A, G’, M’, G
Chọn D
+ Do MM’ là đường trung bình trong hình bình hành BB’CC’ nên MM’ = BB’ = AA’ và MM’ // BB’ // AA’
+ Do đó AA’M’M là hình bình hành.
⇒ 4 điểm A; G’, M’, G đồng phẳng (cùng thuộc mp (AA’M’M)
Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB; G là trọng tâm tam giác SCD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. G, C, S, B B. M, N, C, D C. G, C, A, B D. M, N, G, B.
+ Xét tam giác SAB có M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác và MN // AB (1)
+ Mà ABCD là hình thang có AB // CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN // CD
⇒ Bốn điểm M, N, C, D đồng phẳng.
Câu 4: Cho tứ diện ABCD có M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3MB; N thuộc AC sao cho AC = 4 NC; H thuộc AD sao cho HD = 3 AH. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BD và CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. M, N, H, A B. M, N, P, Q C. P, Q, N, H D. H, Q, M, N
+ Do P và Q lần lượt là trung điểm của BD và CD
⇒ PQ là đường trung bình của tam giác BCD và PQ // BC (1)
+ Theo giải thiết AC = 4NC nên AN = 3NC
⇒ AM/MB = AN/NC = 3
⇒ MN// BC. ( 2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: PQ // MN
⇒ Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng
Chọn B
Câu 5: Cho tứ diện ABCD đều. Gọi M, AN, P, Q, H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, CD, BC, AC và BD. Ban đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. MP, NQ, BN
B. HK, MP, NC
C. MP, NQ, HK
D. HK, NQ, CM
+ Xét tam giác ABD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABD và MN // BD (1)
+ Xét tam giác BCD có P và Q lần lượt là trung điểm của CD và BC
⇒ PQ là đường trung bình của tam giác và PQ // BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
+ Gọi O là giao điểm của MP và NQ
⇒ O là trung điểm của MP và NQ (Tính chất hình bình hành)
+ Chứng minh tương tự có HN // QK // CD và HQ // NK // AB
⇒ Tứ giác NKQH là hình bình hành
Mà I là trung điểm của NQ nên I cũng là trung điểm của HK. (hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
⇒ Ba đường thẳng MP; NQ và HK đồng quy tại I
Chọn C
Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB; CD; BC; DA; AC và BD. Hỏi ba đường thẳng nào sau đây đồng quy.
A. MN, PQ, RS
B. MN; PR; QS
C. MP; NA; RS
D. MR; NS; PQ
+ Xét tam giác ABC có M và P lần lượt là trung điểm AB; BC nên MP là đường trung bình của tam giác.
⇒ MP // AC và MP = AC/2 (1)
+ Xét tam giác ACD có N và Q lần lượt là trung điểm của CD; AD nên NQ là đường trung bình của tam giác ACD
⇒ NQ // AC và NQ = AC/2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác MPNQ là hình bình hành.
+ Gọi I là giao điểm của MN và PQ nên I là trung điểm mỗi đường.
+ Tương tự; ta có tứ giác QRPS là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà I là trung điểm PQ nên I cũng là trung điểm RS.
Vậy 3 đường thẳng MN; PQ và RS đồng qui tại I
Chọn A
Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA; SB; SC và SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’. Ba đường thẳng nào sau đây đồng qui?
A. SO; A’C; C’D
B. SO; AC’; B’D’
C. A’C’; B’D; CD’
D. SO; A’C’; B’D’
+ Do mp (P) cắt các cạnh SA; SB; SC và SD lần lượt tại A’; B’; C’ và D’ nên mp (P) chính là mp (A’B’C’D’)
+ Trong mp (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mp (P) gọi O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’.
+ Xét ba mp (SAC); mp (SBD) và mp (P) ta có:
(SAC) ∩ (SBD) = SO
(SAC) ∩ (P) = A'C'
(SBD) ∩ (P) = B'D'
⇒ Ba mp (SAC); mp (SBD) và mp (P) cắt nhau theo ba giao tuyến là SO; A’C’ và B’D’ nên ba đường thẳng này đồng quy
Câu 8: Cho hình chóp S. ABCD; một mp (P) đi qua D và C cắt SA tại A’. Gọi giao điểm của A’C và SO là I; giao điểm của AC và BD là O. Tìm mệnh đề sai?
A. Ba điểm A’; I và C thẳng hàng.
B. Ba đường thẳng SO; A’C và B’D đồng quy.
C. DI cắt SB.
D. Có đúng hai mệnh đề đúng
+ Nhận xét: mp (P) ≡ mp (A^' CD).
+ Xét giao tuyến của ba mp (SAC); mp (SBD) và mp (P).
(SAC) ∩ (SBD) = SO
(SAC) ∩ (A'CD) = A'C
(SBD) ∩ (A'CD) = DI
⇒ Ba mp (SAC); mp (SBD) và mp (P) cắt nhau theo ba giao tuyến SO; A’C và DI đồng quy với nhau tại I
⇒ Ba điểm A’; I; C thẳng hàng.
+ Xét mp (A’CD) có DI và SB là cắt nhau.
⇒ D sai
Chọn D