Bài toán thực tế về cấp số nhân cực hay có lời giải - Chuyên đề Toán 11
A. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).
Bài giải:
Kí hiệu un (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau n chu kì án rã.
Ta có: 7314 ngày gồm 53 chu kì bán rã. Theo bài ra, ta cần tính u53.
Từ giả thiết suy ra dãy (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu là:
Do đó:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 2: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288 m2). Tính diện tích mặt trên cùng.
Bài giải:
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ tầng 1) lập thành một cấp số nhân có công bội
Khi đó diện tích mặt trên cùng là:
Đáp án đúng là: A.
Ví dụ 3: Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt 20000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10 Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?
Bài giải:
Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có U1 = 20000 và công bội q = 2.
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:
Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ 10 là:
Ta có:
Đáp án đúng là: C.
Ví dụ 4: Một người bắt đầu đi làm được nhận được số tiền lương là 7.000.000đ một tháng. Sau 36 tháng người đó được tăng lương 7%. Hàng tháng người đó tiết kiệm 20% lương để gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,3%/tháng theo hình thức lãi kép (nghĩa là lãi của tháng này được nhập vào vốn của tháng kế tiếp). Biết rằng người đó nhận lương vào đầu tháng và số tiền tiết kiệm được chuyển ngay vào ngân hàng.
Hỏi sau 36 tháng tổng số tiền người đó tiết kiệm được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)
Bài giải:
Đặt:
Hết tháng thứ nhất, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là:
Hết tháng thứ 36, người đó có tổng số tiền tiết kiệm là:
Thay số ta được:
Đáp án đúng là: C
Ví dụ 5: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó xin nhà vua: ''Bàn cờ có 64 ô, với ô thứ nhất thần xin nhận 1 hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước và thần xin nhận tổng số các hạt thóc ở 64 ô''. Hỏi người đó sẽ nhận được một phần thưởng tương ứng nặng bao nhiêu? (Giả sử 100 hạt thóc nặng 20 gam).
Bài giải:
Tổng số hạt thóc phần thưởng là tổng 64 số hạng đầu tiên một cấp số nhân với u1 = 1, q = 2.
Suy ra:
Quy đổi: 100 hạt thóc nặng 20 gam => 50.000.000 hạt nặng 1 tấn.
Suy ra 264 − 1 hạt thóc nặng:
Đáp án đúng là: B.
Ví dụ 6: Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:
- Ở cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 10.000 đồng so với giá của mét khoan ngay trước.
- Ở cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 50.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 8% giá của mét khoan ngay trước.
Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một cái giếng sâu 20 mét, một cái giếng sâu 30 mét ở hai địa điểm khác nhau. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở khoan giếng nào cho từng giếng để chi phí khoan hai giếng là ít nhất. Biết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau.
Bài giải:
Kí hiệu An, Bn lần lượt là số tiền công (đơn vị đồng) cần trả theo cách tính giá của cơ sở A và cơ sở B.
Theo giả thiết ta có:
+ An là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 50.000 và công sai d = 10.000.
+ Bn là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu v1 = 50.000 và công bội q = 1,08. Do đó
Suy ra nên chọn cơ sở B khoan giếng 20 mét.
Suy ra nên chọn cơ sở A để khoan giếng 30 mét.
Đáp án đúng là: D.
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m2). Tính diện tích mặt trên cùng
Đáp án: A
Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội
Khi đó diện tích mặt trên cùng là:
Câu 2: Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên 10% Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?
Đáp án: B
* Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:
* Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:
Suy ra phương án đúng là B
Câu 3: Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?
Đáp án: D
Số tiền ban đầu là M0 = 108 (đồng)
Đặt r = 0,7% = 0,007
Số tiền sau tháng thứ nhất là
Số tiền sau tháng thứ hai là
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là
Do đó
Câu 4: Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1,2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
Đáp án: C
Đặt P0 = 2000000 = 2.106 và r = 1,2% = 0,012
Gọi Pn là số dân của tỉnh M sau n năm nữa.
Ta có:
Suy ra (Pn) là một cấp số nhân với số hạng đầu P0 và công bội q = 1+ r.
Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là:
Câu 5: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 1012 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Đáp án: C
Lúc đầu có 1022 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1 = 1022 và công bội q = 2.
Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào. Ta có u10 là số tế bào nhận được sau 3 giờ.
Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là
Câu 6: Ta biết rằng trong một hồ sen; số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Biết rằng ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 10 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?
Đáp án: C
+) Nếu số lá sen ngày đâù là 1 = 30 thì số lá sen ngày thứ 2 là 1.3 = 31; số lá sen ngày thứ ba là 3.3 = 32... số lá sen ngày thứ 10 là 39.
Như vậy để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá.
+) Nếu ngày đầu có u1 = 9 lá thì ngày thứ 2 có: 9.3 = 27 lá; ngày thứ 3 có: 27.3 = 81 lá...
Do đó; số lá sen mỗi ngày có trong hồ là 1 cấp số nhân với u1 = 9; q = 3.
Số hạng thứ n là
Để hồ đầy lá sen thì cần 39 lá
Vậy đến ngày thứ 8 thì hồ sẽ đầy lá.
Câu 7: Cho n đường tròn đồng tâm O. Biết rằng r1 =2; chu vi đường tròn (O; r2) có gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r1);... ; chu vi đường tròn (O; rn) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; rn-1). Chu vi đường tròn (O; rn) gấp 256 lần chu vi đường tròn (O; r1). Tính rn-1?
Đáp án: A
Ta có chu vi đường tròn có bán kính r là: P=2πr.
Do chu vi đường tròn (O; r2) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; r1)
Do chu vi đường tròn (O; rn) gấp 2 lần chu vi đường tròn (O; rn-1) nên:
=> Dãy số r1; r2; r3.... ; rn là cấp số nhân có u1 = r1 = 2 và công bội q = 2.