Ôn tập chương 3 (Câu hỏi - Bài tập) - trang 100 sgk Toán 9 Tập 2

Trả lời phần Câu hỏi trang 100-101 sgk Toán 9 Tập 2

1. Góc ở tâm là gì?

Hướng dẫn giải:

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

2. Góc nội tiếp là gì?

Hướng dẫn giải:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì?

Hướng dẫn giải:

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chứa dây cung. Ví dụ góc BAx trong hình.

Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến với một dây cung của đường tròn có một đầu mút là gốc của tia tiếp tuyến gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Ví dụ góc Bax trong hình.

4. Tứ giác nội tiếp là gì?

Hướng dẫn giải:

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn.

5. Với ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn, khi nào thì:

Hướng dẫn giải:

6. Phát biểu các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Với hai cung nhỏ của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau thì:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

7. Phát biểu định lí và hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Hướng dẫn giải:

Định lí các góc nội tiếp cùng chắn một cung: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Hệ quả: Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90o) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

8. Phát biểu định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Hướng dẫn giải:

Định lí thuận: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Định lí đảo: Một góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh chứa dây cung, có số đo bằng nửa số đo cung căng dây đó và cung này nằm bên trong góc thì cạnh kia là một tia tiếp tuyến.

9. Phát biểu quỹ tích cung chứa góc.

Hướng dẫn giải:

Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0o < α < 180o).

10. Phát biểu điều kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

+ Tổng của hai góc đối diện bằng 180o.

+ Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

+ Hai đỉnh kề cùng nhình cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc bằng nhau.

+ Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định.

11. Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

Các dấu hiệu:

+ Tổng hai góc đối diện bằng 180o.

+ Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong ở đỉnh đối diện.

+ Bốn đỉnh cách đều một điểm cố định.

+ Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

12. Phát biểu định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của đa giác đều.

Hướng dẫn giải:

Định lí: Mỗi đa giác đều có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

13. Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn.

Hướng dẫn giải:

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo của cung lớn bằng 360o trừ đi số đo của cung nhỏ cùng căng dây cung.

14. Nêu cách tính số đo của góc nội tiếp theo số đo của cung bị chắn.

Hướng dẫn giải:

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

15. Nêu cách tính số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị chắn.

Hướng dẫn giải:

Số đo cuả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

16. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn theo số đo của các cung bị chắn.

Hướng dẫn giải:

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo các cung bị chắn.

17. Nêu cách tính số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn theo số đo của các cung bị chắn.

Hướng dẫn giải:

Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của các cung bị chắn.

18. Nêu cách tính độ dài cung no của hình quạt tròn bán kính R.

Hướng dẫn giải:

Độ dài l của cung no của hình quạt tròn bán kính R được tính theo công thức:

19. Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung no.

Hướng dẫn giải:

Diện tích S của hình quạt tròn bán kính R, cung no được tính theo công thức:

Bài 88 (trang 103 SGK Toán 9 Tập 2): Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:

(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).

Hướng dẫn giải:

a) Góc ở tâm.

b) Góc nội tiếp.

c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.

e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Bài 89 (trang 104): Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60o. Hãy:

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.

d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh

e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh

Hướng dẫn giải:

Bài 90 (trang 104):

a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ hình vuông ABCD có cạnh 4cm.

b) Vẽ hai đường chéo AC và BD. Chúng cắt nhau tại O.

Đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Ta có:

(cm)

⇒ R = OA = AC/2 = 2√2 (cm).

c) Gọi H là trung điểm AB.

(O; OH) là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

r = OH = AD/2 = 2cm.

Bài 91 (trang 104): Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm, góc AOB = 75o.

Hướng dẫn giải:

Bài 92 (trang 104): Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69,70,71 (đơn vị độ dài: cm).

Hướng dẫn giải:

* Hình c

Dựa vào hình vẽ, diện tích phần gạch sọc bằng diện tích hình vuông trừ đi bốn phần diện tích hình quạt ở bốn góc (Mỗi hình quạt tương ứng 1/4 hình tròn bán kính 1,5 cm. Do đó, tổng 4 phần tương ứng với diện tích của một hình tròn bán kính 1,5 cm)

Hình vuông có độ dài cạnh 3 cm nên có diện tích là: S = 32 = 9 (cm2).

Hình tròn có bán kính là R= 1,5 cm nên diện tích hình tròn là:

s= π. 1,52 cm2

Diện tích phần gạch sọc là: Ssọc= S – s = 9- π. 1,52≈ 1,94 cm2

Bài 93 (trang 104-105): Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi:

a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.

Chu vi bánh xe C là: 2.3,14.1 = 6,28 (cm)

Chu vi bánh xe B là: 6,28.2 = 12,56 (cm)

Chu vi bánh xe A là: 6,28.3 = 18,84 (cm)

a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là:

60.6,28 = 376,8 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

376,8: 12,56 = 30 (vòng)

b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là:

80.18,84 = 1507,2 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

1507,2: 12,56 = 120 (vòng)

c) Bán kính bánh xe B là: 12,56: (2π) = 12,56: 6,28 = 2 (cm)

Bán kính bánh xe A là: 18,84: (2π) = 18,84: 6,28 = 3 (cm)

Bài 94 (trang 105): Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h. 72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có phải ½ số học sinh là học sinh ngoại trú không?

b) Có phải 1/3 số học sinh là học sinh bán trú không?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.

Hướng dẫn giải:

d)

* Số học sinh ngoại trú chiếm ½ tổng số học sinh nên số học sinh ngoại trú là:

* Số học sinh bán trú chiếm 1/3 tổng số học sinh nên số học sinh ngoại trú là:

*Số học sinh nội trú là 1800 – 900 - 600 = 300 học sinh

Bài 95 (trang 105): Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) CD = CE; b) ΔBHD cân; c) CD = CH.

Hướng dẫn giải:

a) * Cách 1.

b) Do (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra: BC là tia phân giác của góc .

Xét tam giác BHD có BA’ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác BHD cân tại B.

Bài 96 (trang 105): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) OM đi qua trung điểm của dây BC.

b) AM là tia phân giác của góc OAH.

Hướng dẫn giải:

Bài 97 (trang 105): Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

Hướng dẫn giải:

a) ⇒ A ∈ đường tròn đường kính BC.

D ∈ đường tròn đường kính MC

⇒ D ∈ đường tròn đường kính BC

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

hay tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Xét đường tròn đường kính BC:

đều là góc nội tiếp chắn cung

c) + Trong đường tròn đường kính MC:

đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung

+ Trong đường tròn đường kính BC:

đều là các góc nội tiếp chắn cung

Bài 98 (trang 105): Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

Phần thuận: giả sử M là trung điểm của dây AB. Ta có OM ⊥ AB (định lí)

Khi B di động trên (O), điểm M luôn nhình OA cố định dưới góc vuông, vậy M thuộc đường tròn đường kính OA.

Phần đảo: lấy điểm M' bất kì trên đường tròn đường kính OA.

Nối M' với A, đường thẳng M'A cắt đường tròn (O) tại B'. Nối M' với O ta có

Hay OM' ⊥ AB'

⇒ M' là trung điểm của AB'

Kết luận: Tập hợp các trung điểm của dây AB là đường tròn đường kính OA.