Luyện tập trang 69-70 SGK Toán 9 Tập 1
Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Bài 5 (trang 69 SGK Toán 9 Tập 1): Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Δ ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và đường cao AH như trên hình.
Theo định lí Pitago ta có:
Mặt khác, AB2 = BH. BC (định lí 1)
Theo định lí 3 ta có: AH. BC = AB. AC
Bài 6 (trang 69): Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Hướng dẫn giải:
Δ ABC vuông tại A và đường cao AH như hình.
BC = BH + HC = 1 + 2 = 3
Theo định lí 1: AB2 = BH. BC = 1.3 = 3
=> AB = √ 3
Theo định lí 1: AC2 = HC. BC = 2.3 = 6
=> AC = √ 6
Vậy độ dài các cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là √ 3 và √ 6.
Bài 7 (trang 69-70): Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
- Cách 1: (h. 8)
Theo cách dựng, Δ ABC có đường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC, do đó Δ ABC vuông tại D.
Vì vậy AH2 = BH. CH hay x2 = ab
Đây chính là hệ thức (2) hay cách vẽ trên là đúng.
- Cách 2: (h. 9)
Theo cách dựng, Δ DEF có đường trung tuyến DO bằng một nửa cạnh EF, do đó Δ DEF vuông tại D.
Vậy DE2 = EI. EF hay x2 = a. b
Đây chính là hệ thức (1) hay cách vẽ trên là đúng.
Bài 8 (trang 70): Tìm x và y trong mỗi hình sau:
Hướng dẫn giải:
a) Theo định lí 2 ta có:
x2 = 4.9 = 36 => x = 6
b) Vì đường cao chia cạnh huyền thành hai nửa bằng nhau nên nó đồng thời là đường trung tuyến. Mà trong tam giác vuông, đường tuyến bằng nửa cạnh huyền nên nên x = 2.
Theo định lí Pitago ta có:
Bài 9 (trang 70): Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân
b) Tổng
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
a) Xét hai tam giác vuông ADI và CDL có:
AD = CD (cạnh hình vuông)
Nên Δ ADI = Δ CDL (cạnh góc cuông và góc nhọn)
Suy ra DI = DL hay Δ DIL cân. (đpcm)
b) Trong tam giác DKL vuông tại D với đường cao DC. Theo định lí 4, ta có:
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. (đpcm)
Bài trước: Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - trang 66 Toán 9 Tập 1 Bài tiếp: Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn trang 71 Toán 9 Tập 1